lista6.7

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320 Capítulo Seis encontramos que (verifique) logo Portanto que é a Equação (5). (c) A matriz de mudança de base da base S para a base T é obtida (verifique) pela transformação da matriz em blocos [ 1 1 1 : 1 - 1 : 0 :-3 para a forma escalonada reduzida por linhas, obtendo (verifique) 1 0 1/2 2 0 1 1/2 -1 Portanto 1/2 -1 2 = Multiplicando por encontramos (verifique) Termos-chave Base ordenada Vetor de coordenadas Matriz de mudança de base 6.7 Exercícios Suponha que todas as bases consideradas nestes exercícios sejam or- denadas. Nos Exercícios de 1 a 6, calcule o vetor de coordenadas de 6. M22, S = 0 0 I 0 1 - i] em relação à base S dada para V. 2 I = Nos Exercícios de 12, calcule o vetor se vetor de coordenadas é dado em relação à base S para V. 7. 8. 0 0 0 9.Espaços Vetoriais Reais 321 bases para Sejam também = V = e Siga as instruções do Exercício 13. 18. Sejam 0 1 , . 10 e T = 0 1 1 1 - bases para Sejam também 13. bases para R2. Sejam e também = (1, 5) e = (5,4). (a) Encontre os vetores de coordenadas de ve W em relação à base Siga as instruções do Exercício 13. T. 19. Sejam S = eT (4, as bases para (b) Qual é a matriz de mudança de base base T para a base R2. Se pertence a S? (c) Encontre os vetores de coordenadas de e W em relação a S usando (d) Encontre os vetores de coordenadas de y e W em relação a S, determine diretamente. (e) Encontre a matriz de mudança de base base S para a 20. Sejam para Sev base T. pertence a (f) Encontre os vetores de coordenadas de V e W em relação a T usando Compare as respostas com as do item (a). 14. Sejam determine 21. 1), (-2,2, 1)} eT = 0 0 1 1, 0), (0,1,1)} bases para R3. Se pertence a e 0 determine bases para R3. Sejam também 22. Sejam bases para Se pertence a 3 e 8 8 Siga as instruções do Exercício 13. 15. Sejam S as bases para Siga as instruções do Exercício 13. 23. para onde 16. Sejam 1) as bases para Sejam Se a matriz de mudança de base de T para 6. Siga as instruções do Exercício 13. 17. Sejam 112 211 S = 0 0 determine T. e 24. onde322 Capítulo Seis Se a matriz de mudança de base de S para 26. 2 3 Se a matriz de mudança de base de para determine S. I 2 25. R2, onde 2 3 determine S. Se a matriz de mudança de base de S para 2 I determine T. Exercícios Teóricos T.1. Seja S = uma base para o espaço vetorial di- mensão n e sejam ve W dois vetores em V. Mostre que somente se [v]s = é uma base para T.2. Mostre que, se uma base para o espaço vetorial V de dimensão n e ve W são vetores em e uma escalar, então Nos Exercícios de as bases para o espaço T.5. Seja a matriz n n cuja coluna é e seja a matriz e n cujaj-ésima coluna é Mostre que e são invertíveis. (Sugestão: Considere o sistema homogêneo T.3. Seja S uma base para o espaço vetorial V de dimensão n. Mostre T.6. Se é um vetor em V, mostre que que se é um conjunto de vetores linearmente in- dependentes em V, então T.7. (a) Use a Equação (5) os Exercícios eT.6 para mostrar que é um conjunto de vetores linearmente independentes em (b) Mostre que invertível. T.4. Seja S = uma base para um espaço vetorial V de (c) Verifique o resultado da parte (a) no caso do Exemplo 4. dimensão n. Mostre que Exercícios com o MATLAB Encontrar as coordenadas de um vetor em relação a uma base é um ML.2. Sejam (0, 2, 1, 1), (0, 1, problema de combinações lineares. Portanto, uma vez que o sistema 0,0)}. Mostre que é uma base para Ve encontre [v]s para cada linear correspondente é construído, podemos usar as rotinas reduce e um dos vetores a seguir. rref do MATLAB para encontrar sua solução. A solução nos fornece as 14) coordenadas desejadas. (A discussão da Seção 12.7 será útil para au- xiliar na construção do sistema linear necessário.) ML.1. Seja V ML.3. Seja V o espaço vetorial para todas as matrizes 2 2 e S = { 2 I 1 0 2 . 2 0 1 2 2 0 0 2 3 0 Mostre que S é uma base para V e encontre [v]s para cada um dos vetores a seguir. Mostre que S é uma base para Ve encontre [v]s para cada um dos vetores a seguir. 8 (b) 2 4 2 7 2 4 3 (c) 3Espaços Vetoriais Reais 323 Encontrar a matriz de mudança de base da base T para a base também um problema de combinações lineares. a matriz cujas = base canônica colunas são as coordenadas dos vetores de T em relação à base S. Se- guindo as idéias que foram desenvolvidas no Exemplo 4, podemos en- ML.7. Seja V = R3 e suponha que temos bases contrar a matriz a rotina reduce ou rref. A idéia é cons- truir uma matriz A cujas colunas correspondam aos vetores de S (veja 0 Seção 12.7) e uma matriz B cujas colunas correspondam aos vetores S 1 2 de T. Então, o comando do MATLAB rref([A B]) fornece Os Exercícios de ML.4 a ML.6 usam as do MATLAB descri- tas anteriormente para encontrar a matriz de mudança de base base T para a base S. T = 0 0 0 2 e S = 0 2 1 0 U = | 2 I 2 1 -2 1 T = 1 2 1 2 (a) Encontre a matriz de mudança de base P de U para T. (b) Encontre a matriz de mudança de base Q de T para S. 1 (c) Encontre a matriz de mudança de base Z de U para S. (d) QP? 6.8 BASES ORTONORMAIS EM A partir de nosso trabalho com as bases canônicas para R2, em geral, para R", descobri- mos que quando estas bases estão presentes, os cálculos são simples. Um subespaço W de não precisa conter quaisquer vetores da base canônica, mas, nesta seção, queremos mos- trar que ele possui uma base com as mesmas propriedades. Isto é, queremos mostrar que W contém uma base S tal que todo vetor em S tem uma unidade de comprimento e quaisquer dois vetores em S são ortogonais. o método usado para obter esta base processo de Gram- Schmidt, que é apresentado nesta seção. DEFINIÇÃO Um conjunto S = em R" é chamado de ortogonal se todo par de vetores dis- tintos em Sé ortogonal, isto é, se u, = 0 para i # j. Um conjunto de vetores é ortonormal se é um conjunto ortogonal e consiste em vetores unitários. Isto é, S = é ortonormal se = 0 para i = 1 para i=1,2, k. EXEMPLO 1 X3) é um conjunto ortogonal em Os vetores = e = 2 1 são vetores unitários nas direções de e respectivamente. Como é também de com- primento unitário, segue que X3) é um conjunto ortonormal. Além disso, o espaço gerado por {x1, X2, X3) é igual ao espaço gerado por X3}. EXEMPLO 2 A base canônica é um conjunto ortonormal em R3. De maneira mais geral, a base em R" é um con- junto ortonormal. o teorema que se segue apresenta um resultado importante sobre conjuntos ortogonais. TEOREMA 6.16 um conjunto ortogonal de vetores não-nulos em Então, S é li- nearmente independente.