Podemos então utilizar a conhecida fórmula de Euler para poliedros convexos, V − A + F = 2, para saber um pouco mais a respeito dessas estruturas, ...

Podemos então utilizar a conhecida fórmula de Euler para poliedros convexos, V − A + F = 2, para saber um pouco mais a respeito dessas estruturas, lembrando que V é o número de vértices, A é o número de arestas, e F é o número de faces do poliedro. Uma belíssima aplicação da fórmula (1), no contexto da Teoria dos Grafos, está na sua utilização na demonstração do Teorema das Cinco Cores: Todo mapa pode ser colorido com no máximo cinco cores (veja J. L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação, 4a edição, LTC Editora, p. 253). Uma conseqüência interessante da fórmula de Euler Se um poliedro convexo possui apenas faces hexagonais e pentagonais e, em cada vértice, incidem exatamente 3 arestas, então ele possui exatamente 12 faces pentagonais. Para mostrar esse resultado, observamos primeiro que: cada face hexagonal do poliedro possui 6 arestas em sua fronteira, cada face pentagonal possui 5 arestas em sua fronteira, e cada aresta é parte da fronteira de duas faces. Assim, se indicarmos por FH e FP o número de faces hexagonais e poligonais, respectivamente, teremos 6FH + 5FP = 2A. Por outro lado, como cada aresta liga dois vértices e (por hipótese) de cada vértice partem três arestas, temos: 2A = 3V. Da fórmula de Euler (1) segue então que V − A + FH + FP = 2. Multiplicando por 6 e usando (2) e (3), obtemos: FP = 12. Nas moléculas de fulerenos e nanotubos, cada átomo liga-se exatamente a 3 átomos de carbono e podemos, portanto, concluir do resultado que elas têm que possuir exatamente 12 faces pentagonais.

Verdadeiro
Falso