3.(Caṕıtulo 2 e 3) Considere os polinómios A(x) = x^3 +ax^2 +x+b; a, b ∈ R e B(x) = x^2 +2x. Sabendo que os polinómios têm duas ráızes comuns,...

Para encontrar os valores de a e b, precisamos usar as informações dadas sobre as raízes comuns dos polinômios A(x) e B(x). Sabemos que B(x) tem duas raízes comuns com A(x), então essas raízes também são raízes de A(x). As raízes de B(x) são -2 e 0, então essas também são raízes de A(x). Podemos usar isso para escrever A(x) como: A(x) = (x + 2)(x)(x - r) Onde r é a terceira raiz de A(x). Expandindo essa expressão, temos: A(x) = x^3 + (2 - r)x^2 - 2rx - 2r Comparando com a expressão dada para A(x), podemos ver que: a = 2 - r b = -2r Agora precisamos encontrar o valor de r. Sabemos que as raízes de A(x) são -2, 0 e r, então podemos usar a fórmula para a soma de raízes de um polinômio para encontrar r: -(-a) / 1 = -2 + 0 + r a = 2 - r r = a - 2 Substituindo r em termos de a na expressão para b, temos: b = -2(a - 2) = -2a + 4 Portanto, os valores de a e b são: a = 2 - r = 2 - (a - 2) = 4 - a b = -2a + 4 Podemos verificar que esses valores funcionam substituindo-os na expressão para A(x) e verificando se as raízes são -2 e 0.