eja g(x) = π ln⁡(x2sen2x), definida para 0 < x < π2. Determine o valor da taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π4.

Para determinar a taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π/4, precisamos calcular a derivada de g(x) em relação a x e, em seguida, substituir o valor de x por π/4. Começando pela função g(x), temos: g(x) = π ln(x^2 sen^2x) Para calcular a derivada de g(x), usamos a regra da cadeia: g'(x) = π [1/(x^2 sen^2x)] * [2x sen^2x + x^2 2senxcosx/cos^2x] Simplificando a expressão acima, temos: g'(x) = 2π tanx + 2πx cotx Substituindo x por π/4, temos: g'(π/4) = 2π tan(π/4) + 2π(π/4) cot(π/4) g'(π/4) = 2π(1) + 2π(π/4)(1) g'(π/4) = 2π + π^2/2 Portanto, a taxa de variação de g(x) em relação a x no instante de x = π/4 é de 2π + π^2/2.