Sejam U e V os seguintes subespaços de ℝ4 : ???? = {(????, ????, ????, ????)/???? + ???? + ???? = 0}, ???? = {(????, ????, ????, ????)/???? + ???? = 0, ???? = 3????}. Encontre a dim...

Para encontrar a dimensão e uma base para cada um dos subespaços U, V e U ∩ V, podemos utilizar o método de Gauss-Jordan para encontrar as bases. Começando com o subespaço U, podemos escrever a equação vetorial como: U = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + x2 + x3 = 0} Podemos reescrever essa equação como: x1 = -x2 - x3 Podemos escolher x2 e x3 como variáveis livres e escrever a solução geral como: (x1, x2, x3, x4) = (-x2 - x3, x2, x3, x4) Portanto, a base para U é {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)} e a dimensão é 3. Agora, para o subespaço V, podemos escrever a equação vetorial como: V = {(x1, x2, x3, x4) / x1 + x2 = 0, x3 = 3x4} Podemos escolher x2 e x4 como variáveis livres e escrever a solução geral como: (x1, x2, x3, x4) = (-x2, x2, 3x4, x4) Portanto, a base para V é {(1, -1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 3, 1)} e a dimensão é 3. Finalmente, para encontrar a interseção U ∩ V, precisamos encontrar as soluções que satisfazem ambas as equações vetoriais. Podemos escrever as equações como: x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 = 0 x3 = 3x4 Podemos escolher x2 e x4 como variáveis livres e escrever a solução geral como: (x1, x2, x3, x4) = (-x2, x2, 3x4, x4) Portanto, a base para U ∩ V é {(1, -1, 0, 0), (0, 1, 0, 0)} e a dimensão é 2.