Lista Algebra Linear - Espacos vetoriais, subespacos, independência linear

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A´lgebra linear
Espac¸os vetoriais, subespac¸os, independeˆncia linear
1. Determine para quais valores do paraˆmetro real k os vetores
v1 =

1
2
k
2
 , v2 =

1
k
2
1
 , v3 =

k
4
2k
k

sa˜o linearmente independentes.
2. Seja u = (1, 1, 1) e considere o conjunto
S =
{
v ∈ R3 : v · u = 0}.
Verifique que S e´ um subespac¸o de R3.
Determine uma base de S e a dimensa˜o dele. Determine uma base ortonormal
de S.
Represente graficamente S.
3. Sejam u1 = (1, 0, 1, 0)T e u2 = (1, 2, 0,−1)T e considere o conjunto
S =
{
v ∈ R4 : v · u1 = 0, v · u2 = 0
}
.
Verifique que S e´ um subespac¸o de R4. Determine uma base de S e a di-
mensa˜o dele.
4. Sejam
u = (1,−1,−3, 5, 2)T , v = (5,−6,−10, 19, 3)T , w = (−2, 3, 1,−4, 3)T .
Os vetores u e v sa˜o linearmente independentes?
Os vetores u e w sa˜o linearmente independentes?
2
Os vetores v e w sa˜o linearmente independentes?
Os vetores u, v e w sa˜o linearmente independentes?
5. Sejam
u1 = (1, 0, 2,−1)T , u2 = (−1, 3, 0, 2)T , u3 = (1, 3, 4, t)T .
Estude, em dependeˆncia de t, a dependeˆncia ou independeˆncia linear deles e,
em cada caso, indique uma base e a dimensa˜o do espac¸o vetorial gerado por
eles.
6. Sejam
V =

 2a + b− 13a + 2b
a + b + 1
 : a, b ∈ R
 W =

 2c + d− 13c + 2d + 1
c + d + 1
 : c, d ∈ R

Estabelec¸a se V e W sa˜o subespac¸os e, em caso de resposta afirmativa, de-
termine a dimensa˜o e uma base.
7. Sejam S e T os subespac¸os de R3 seguintes
S =
〈 10
1
,
 3−1
0
〉 , T =

 ab
c
 ∈ R3 : a− b + 2c = 0

Determine a dimensa˜o e uma base de S, T , S ∩ T e S + T . Estabelec¸a se
S + T = S ⊕ T .
8. Para k ∈ R, seja
Wk =

 x + 2y − z + 13x− y + 4z + k
3x + 2y + z + 3
 : x, y, z ∈ R
.
Determine para qual valor do paraˆmetro k o subconjunto Wk contem o vetor
nulo. Verifique que para esse valor Wk e´ um subespac¸o vetorial de R
3.
3
9. Determine para quais valores do paraˆmetro real h o vetor
v =
 22
2

pertence ao espac¸o S = 〈a, b, c〉 onde
a =
 21
h
 , b =
 h + 11
2
 , c =
 1 + hh
2
 .
10. Determine duas bases distintas para o subespac¸o S ⊆ R4 formado por
todos os vetores da forma 
a
b
a + b
a− b

com a, b ∈ R.
11. Sejam u, v, w vetores independentes. Prove que u + v, u − v, w sa˜o
tambe´m independentes.
12. Seja S = {(x, y, z, w)T ∈ R4 : x + y + z = 0, y + z + w = 0}. Verifique
que S e´ um subespac¸o de R4. Existe um vetor v ∈ S tal que S = 〈v〉?
Existem v, w ∈ S tal que S = 〈v.w〉? Calcule a dimensa˜o de S.
13. Considere os seguintes subespac¸os de R3.
S1 = {(x, y, z)T : z = 0}
S2 = {(x, y, z)T : x = 0, y = 0}
S3 = {(x, y, z)T : xy = 0}
S4 = {(x, y, z)T : x + 2y − z = 0}
4
S5 = {(x, y, z)T : x + y + z = 1}.
Quais sa˜o subespac¸os? Para os que sa˜o subespac¸os, determine uma base e a
dimensa˜o.
14. Sejam Σ e Θ os subconjuntos seguintes de R3[x]
Σ = {p(x) ∈ R3[x] : p(a) = 0},
Θ = {q(x) ∈ R3[x] : q(a) = 1},
onde a ∈ R e´ um numero real fixado. Estabelec¸a se Σ e Θ sa˜o subespac¸os e,
se forem, determine a dimensa˜o e uma base.