4. Determine a derivada direcional da função f ( x , y ) = 2 x 2 y + 5 , na direção do vetor ( √ 3 2 , − 1 2 ) no ponto (x,y) = (1,1). 1 ...

Para determinar a derivada direcional da função f(x,y) na direção do vetor ( √ 3/2 , -1/2) no ponto (1,1), podemos utilizar a fórmula: D_v f(x,y) = ∇f(x,y) . v Onde ∇f(x,y) é o gradiente da função f(x,y) e v é o vetor unitário na direção desejada. Calculando o gradiente de f(x,y), temos: ∇f(x,y) = (4xy, 2x^2) Substituindo o ponto (1,1), temos: ∇f(1,1) = (4,2) Normalizando o vetor direção, temos: v = ( √ 3/2 , -1/2) / √(3/4 + 1/4) = ( √ 3/2 , -1/2) Substituindo na fórmula, temos: D_v f(1,1) = ∇f(1,1) . v = (4,2) . ( √ 3/2 , -1/2) = 4√3/2 - 1 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 2√3 - 1.