Determine o valor da integral ∬ S ( x + 2 y ) d x d y , sendo S a área definida pelas retas x +y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x≤ 3. 56 3 96 3 ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Fubini e integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y. A área S é definida pelas retas x + y - 4 = 0, x = y e 0 ≤ x ≤ 3. Podemos reescrever a equação da reta x + y - 4 = 0 como y = 4 - x e substituir na equação x = y, obtendo x = 2. Portanto, a área S é um triângulo com vértices em (0,0), (2,2) e (3,1). Integrando em relação a x, temos: ∫ de 0 até 2 ∫ de y até 4-y (x + 2y) dx dy = ∫ de 0 até 2 [(x^2/2 + 2xy) de y, com limites de integração de y até 4-y] = ∫ de 0 até 2 [(2y^2 - 2y^3/3 + 4y - 2y^2) dy] = ∫ de 0 até 2 [-2y^3/3 + 4y dy] = [-y^4/2 + 2y^2] de 0 até 2 = 4/3 Integrando em relação a y, temos: ∫ de 0 até 1 ∫ de 0 até y (x + 2y) dx dy + ∫ de 1 até 2 ∫ de 0 até 2-y (x + 2y) dx dy = ∫ de 0 até 1 [(xy + x^2/2) de x, com limites de integração de 0 até y] de y, com limites de integração de 0 até 1 + ∫ de 1 até 2 [(xy + x^2/2) de x, com limites de integração de 0 até 2-y] de y, com limites de integração de 1 até 2 = ∫ de 0 até 1 [(y^2/2 + y^3/6) dy] + ∫ de 1 até 2 [(y^2/2 + (2-y)^2/2 - (2-y)^3/6) dy] = [y^3/6 + y^4/24] de 0 até 1 + [(y^3/6 + y^2/2 - (2-y)^3/6) dy] de 1 até 2 = 1/8 + 7/12 = 11/24 Portanto, o valor da integral é 11/24. A alternativa correta é a letra D).