Dados os vetores c⃗ = 1,2,3 e d = 1,1,2 , calcule: a) A área do paralelogramo determinado por c⃗ e d b) A altura do paralelogramo relativo à base d...

a) Para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores c⃗ e d, podemos utilizar o produto vetorial. O módulo do produto vetorial entre c⃗ e d é igual à área do paralelogramo formado por esses vetores. Assim, temos: c⃗ x d = (2*2 - 3*1, 3*1 - 1*1, 1*1 - 2*2) = (-1, 2, -3) |c⃗ x d| = √((-1)² + 2² + (-3)²) = √14 Portanto, a área do paralelogramo determinado por c⃗ e d é √14. b) A altura do paralelogramo relativo à base d é a distância entre o ponto onde a base d toca o paralelogramo e o vértice oposto a essa base. Podemos encontrar esse ponto utilizando a projeção ortogonal do vetor c⃗ sobre o vetor d. Assim, temos: projd(c⃗) = ((c⃗ . d) / (d . d)) * d Onde "." representa o produto escalar entre vetores. Substituindo os valores, temos: projd(c⃗) = ((1*1 + 2*1 + 3*2) / (1*1 + 1*1 + 2*2)) * (1, 1, 2) = (9/6) * (1, 1, 2) = (3/2, 3/2, 3) Assim, o ponto onde a base d toca o paralelogramo é (1, 1, 2) + (3/2, 3/2, 3) = (5/2, 5/2, 7/2). Agora, podemos calcular a altura do paralelogramo utilizando a fórmula: h = |projc⃗(d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2))| Onde projc⃗(d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2)) é a projeção ortogonal do vetor d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2) sobre o vetor c⃗. Substituindo os valores, temos: d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2) = (1, 1, 2) - (5/2, 5/2, 7/2) = (-3/2, -3/2, -3/2) projc⃗(d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2)) = ((c⃗ . (d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2))) / (c⃗ . c⃗)) * c⃗ Substituindo os valores, temos: projc⃗(d⃗ - (5/2, 5/2, 7/2)) = ((1*1 + 2*1 + 3*2 - (15/2 + 15/2 + 21/2)) / (1*1 + 2*2 + 3*3)) * (1, 2, 3) = (-1/7, -2/7, 3/7) Assim, a altura do paralelogramo relativo à base d é |(-1/7, -2/7, 3/7)| = √(1/49 + 4/49 + 9/49) = √14/7.