8. Sejam os vetores u = 3,1,−3 e v = −1,4,2 . Determine um vetor ortogonal a u e v que: a) Seja unitário b) Tenha módulo 4 c) Tenha ordenada igual ...

Para encontrar um vetor ortogonal a u e v, podemos calcular o produto vetorial entre eles. u x v = (1*(-2) - (-3)*4, -3*(-1) - 3*(-2), 3*4 - 1*(-1)) = (-5, 3, 13) a) Para encontrar um vetor unitário, basta dividir o vetor ortogonal pelo seu módulo: |(-5, 3, 13)| = sqrt(5^2 + 3^2 + 13^2) = sqrt(203) Então, um vetor unitário ortogonal a u e v é dado por: (-5/sqrt(203), 3/sqrt(203), 13/sqrt(203)) b) Para encontrar um vetor com módulo 4, podemos multiplicar o vetor unitário encontrado no item a) por 4: 4*(-5/sqrt(203), 3/sqrt(203), 13/sqrt(203)) = (-20/sqrt(203), 12/sqrt(203), 52/sqrt(203)) c) Para encontrar um vetor com ordenada igual a -6, podemos escolher um vetor na forma (x, -6, z) e resolver o sistema de equações formado pelos produtos mistos entre u, v e esse vetor: (x, -6, z) . (3, 1, -3) x (-1, 4, 2) = 0 Isso nos dá o sistema: 3x - 6 - 2z = 0 -x + 12 - 4z = 0 Resolvendo esse sistema, encontramos x = 6 e z = -5. Portanto, um vetor ortogonal a u e v com ordenada igual a -6 é dado por: (6, -6, -5)