13. Calcule a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC dado que A −2,1,0 , B 3,−1,1 e C 0,2,−1 .

Para calcular a área do triângulo ABC, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo: Área = (base x altura) / 2 Onde a base é o lado BC e a altura é a altura relativa a esse lado. Para encontrar a base, podemos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos: d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²) Assim, temos: dBC = √((3 - 0)² + (-1 - 2)² + (1 - (-1))²) = √(9 + 9 + 4) = √22 Agora, para encontrar a altura relativa ao lado BC, podemos utilizar a fórmula: h = 2 * Área / base Substituindo os valores, temos: h = 2 * Área / √22 Para encontrar a altura, precisamos encontrar a área do triângulo. Podemos utilizar o produto vetorial para isso: AB x AC = (3 - (-2), -1 - 1, 1 - 0) x (0 - (-2), 2 - (-1), (-1) - 0) AB x AC = (5, -2, 1) x (2, 3, -1) AB x AC = (-5, 7, 16) A área do triângulo ABC é a metade do módulo desse vetor: Área = 1/2 * √((-5)² + 7² + 16²) = 1/2 * √330 Agora podemos encontrar a altura: h = 2 * (1/2 * √330) / √22 h = √330 / √22 h = √(330/22) h = √15 Portanto, a área do triângulo ABC é 1/2 * √330 e a altura relativa ao lado BC é √15.