Considere as seguintes afirmações: (1) O vetor v = (1,1,2) é paralelo ao plano pi:2x+2y+4z+2= 0. (2) Seja pi o plano que é perpendicular aos planos...

Vamos analisar cada afirmação: (1) O vetor v = (1,1,2) é paralelo ao plano pi:2x+2y+4z+2= 0. Para verificar se um vetor é paralelo a um plano, basta verificar se o vetor é perpendicular ao vetor normal do plano. O vetor normal do plano pi é n = (2,2,4), e o produto escalar entre n e v é 2+2+8=12, que é diferente de zero. Portanto, a afirmação (1) é falsa. (2) Seja pi o plano que é perpendicular aos planos pi1:x+2y-3z+4=0 e pi2:8x-4y + 16z-1 = 0. Um vetor normal ao plano pi é n = (1, -2,1). Se um plano é perpendicular a dois planos, então seu vetor normal é o produto vetorial dos vetores normais dos dois planos dados. O vetor normal de pi1 é (1,2,-3) e o vetor normal de pi2 é (8,-4,16). O produto vetorial entre esses dois vetores é (-32,-25,-12). Portanto, a afirmação (2) é falsa. (3) Os planos pi1:2x-3y+5z+1 = 0 e pi2:5y+3z+7 = 0 são perpendiculares. Dois planos são perpendiculares se seus vetores normais são perpendiculares. O vetor normal de pi1 é (2,-3,5) e o vetor normal de pi2 é (0,5,3). O produto escalar entre esses dois vetores é 0, portanto, a afirmação (3) é verdadeira. (4) A reta pi: X = (2,2,1) + t (3,3,0), t e R. está contida no plano pi:x-y-1=0. Para verificar se uma reta está contida em um plano, basta verificar se um ponto da reta pertence ao plano. Um ponto da reta é (2,2,1) e a equação do plano pi é x-y-1=0. Substituindo as coordenadas do ponto na equação do plano, temos 2-2-1=-1, que é diferente de zero. Portanto, a afirmação (4) é falsa. (5) A interseção dos planos 2x +4y+8z+11 = 0 e x+2y+4z+1 = 0 é uma reta. Dois planos podem se intersectar em uma reta se eles não forem paralelos. Para verificar se eles são paralelos, basta verificar se seus vetores normais são paralelos. O vetor normal do primeiro plano é (2,4,8) e o vetor normal do segundo plano é (1,2,4). O produto vetorial entre esses dois vetores é (-4,4,-4), que é diferente de zero. Portanto, os planos não são paralelos e a afirmação (5) é verdadeira. Portanto, das cinco afirmações, apenas as afirmações (3) e (5) são verdadeiras.