6. Determine se os planos são paralelos: (a) 4x − y + 2z = 5 e 7x − 3y + 4z = 8; (b) x − 4y − 3z − 2 = 0 e 3x − 12y − 9z − 7 = 0; (c) 2y = 8x − 4z + 5 e x = 12z + 1 4y.

Question

6. Determine se os planos são paralelos: (a) 4x − y + 2z = 5 e 7x − 3y + 4z = 8; (b) x − 4y − 3z − 2 = 0 e 3x − 12y − 9z − 7 = 0; (c) 2y = 8x − 4z...

Ed · Answer

Para determinar se os planos são paralelos, precisamos analisar os vetores normais das equações dos planos. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais.

Vamos analisar cada item:

(a) Para os planos $4x - y + 2z = 5$ e $7x - 3y + 4z = 8$:
- O vetor normal do primeiro plano é $ \vec{n_1} = (4, -1, 2) $.
- O vetor normal do segundo plano é $ \vec{n_2} = (7, -3, 4) $.
- Para que sejam paralelos, deve existir um escalar $k$ tal que $ \vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2} $. Não há tal $k$ que satisfaça essa condição, logo, os planos não são paralelos.

(b) Para os planos $x - 4y - 3z - 2 = 0$ e $3x - 12y - 9z - 7 = 0$:
- O vetor normal do primeiro plano é $ \vec{n_1} = (1, -4, -3) $.
- O vetor normal do segundo plano é $ \vec{n_2} = (3, -12, -9) $.
- Observamos que $ \vec{n_2} = 3 \cdot \vec{n_1} $, portanto, os planos são paralelos.

(c) Para os planos $2y = 8x - 4z + 5$ e $x = 12z + 1 - 4y$:
- Reescrevendo, temos $8x - 2y - 4z = 5$ e $x + 4y - 12z = 1$.
- Os vetores normais são $ \vec{n_1} = (8, -2, -4) $ e $ \vec{n_2} = (1, 4, -12) $.
- Não existe um escalar $k$ que satisfaça $ \vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2} $, logo, os planos não são paralelos.

Resumindo:
- (a) Não são paralelos.
- (b) São paralelos.
- (c) Não são paralelos.

Portanto, a resposta correta é que apenas os planos do item (b) são paralelos.

Ed · Answer

Para determinar se os planos são paralelos, podemos usar a equação geral de um plano, que é dada por Ax + By + Cz = D. Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. O vetor normal de um plano é dado por (A, B, C).

Vamos analisar cada opção:
(a) 4x − y + 2z = 5 e 7x − 3y + 4z = 8
Para verificar se os planos são paralelos, precisamos comparar seus vetores normais. Os vetores normais são (4, -1, 2) e (7, -3, 4). Vemos que os vetores normais não são proporcionais, então os planos não são paralelos.

(b) x − 4y − 3z − 2 = 0 e 3x − 12y − 9z − 7 = 0
Os vetores normais são (1, -4, -3) e (3, -12, -9). Novamente, os vetores normais não são proporcionais, então os planos não são paralelos.

(c) 2y = 8x − 4z + 5 e x = 12z + 14y
Essas equações não estão na forma padrão de equação de plano, então não podemos determinar se os planos são paralelos com base nessas equações.

Portanto, nenhum dos pares de planos fornecidos é paralelo.

Geometria Analítica

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4. Determine os valores de a e b para que as retas r : x = 1 + at, y = 2 + bt, z = −1 + 2t e s : x = 2 + t, y = 1 + bt, z = −1 + 2t sejam: (a) paralelas; (b) concorrentes; (c) reversas.

5. Verifique que as retas r : x = 1 + t, y = 2 − t, z = 5 + t e s : x = −2 + 2s, y = −5 + 3s, z = 2 + 2s são concorrentes e determine uma equação do plano que contem essas retas.

7. Determine se a reta e o plano são paralelos: (a) x = −5 − 4t; y = 1 − t; z = 3 + 2t; x + 2y + 3z − 9 = 0; (b) x = 3t; y = 1 + 2t; z = 2 − t; 4x − y + 2z = 1;

8. Determine se os planos são perpendiculares: (a) 3x − y + z − 4 = 0 e x + 2z = −1; (b) x − 2y + 3z = 4 e −2x + 5y + 4z = −1.

13. (a)Encontre uma equação para o plano passando pelo ponto P (2, 4,−1) que contém a interseção dos planos x − y − 4z = 2 e −2x + y + 2z = 3. (b) Verifique que as soluções que encontrou satisfazem os valores dados do enunciado.

14. (a) Encontre uma equação para o plano passando pelo ponto P (2,−1, 4) que é perpendicular à reta de interseção dos planos 4x + 2y + 2z = −1 e 3x + 6y + 3z = 7. (b) Verifique que as soluções que encontrou satisfazem os valores dados do enunciado.

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