Para que x = 1 seja raiz da equação, é necessário que ela seja fatorada na forma (x - 1)(ax + b) = 0, onde a e b são constantes. Igualando os coeficientes da equação dada com a forma fatorada, temos: a = cos²α b = -(3/2)senβ Substituindo x = -b/a na equação dada, temos: (cos²α)(-b/a)² - (4cosαsenβ)(-b/a) + (3/2)senβ = 0 Simplificando, temos: b² - 4a(3/2)senβ = 0 Substituindo os valores de a e b, temos: cos⁴α - 6sen²βcos²α = 0 cos²α(cos²α - 6sen²β) = 0 cos²α = 0 ou cos²α = 6sen²β Como α é um ângulo agudo, temos cos²α > 0, logo: cos²α = 6sen²β Substituindo na equação para b, temos: b = -(3/2)senβ = -(3/2)cosα√(1 - cos²α) Substituindo na equação para x, temos: x = -b/a = (3/2)senβ/cos²α Como senβ/cosα = tgβ, temos: x = (3/2)tgβ/cos²α Usando a relação fundamental da trigonometria no triângulo retângulo abaixo, temos: tgβ = senβ/cosβ = BC/AB cosα = AC/AB Substituindo na expressão para x, temos: x = (3/2)(BC/AB)/(AC/AB)² x = (3/2)BC/AC² Usando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo abaixo, temos: AC² = AB² + BC² Substituindo na expressão para x, temos: x = (3/2)BC/(AB² + BC²) Usando a relação entre os ângulos complementares α e β, temos: cosα = senβ = BC/AC Substituindo na expressão para x, temos: x = (3/2)cosα/(1 + cos²α) Como x = 1, temos: 1 = (3/2)cosα/(1 + cos²α) 2 + 2cos²α = 3cosα 2cos²α - 3cosα + 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau, temos: cosα = [3 ± √(9 - 16)]/4 cosα = (3 ± i)/4 Como α é um ângulo agudo, temos: cosα = (3 - i)/4 senα = √(1 - cos²α) = √(1 - (3 - i)²/16) = √[(13 + 2i)/16] tgα = senα/cosα = (13 + 2i)/(3 - i) Usando a fórmula de De Moivre, temos: tgα = [(13 + 2i)/(3 - i)]^4 = [((13 + 2i)/(3 - i))^2]^2 tgα = [(13 + 2i)^2/(3 - i)^2]^2 tgα = [(169 + 52i - 4)/(9 - 6i + 1)]^2 tgα = [(165 + 52i)/10]^2 tgα = [(33 + 10i)/2]^2 tgα = (33 + 10i)^2/4 tgα = (289 + 660i - 100)/4 tgα = (189 + 660i)/4 tgα = (47 + 165i)/2 tgα = 47/2 + 165i/2 tgα = 23,5 + 82,5i Portanto, as medidas de α e β são, respectivamente, arctg(23,5) e arctg(82,5).