11. (MACKENZIE) Se sen4x = 1 + cos²x, então x pode pertencer ao intervalo: a) [ /4; 3 /4] b) [0;  /6] c) [ ; 5 /4] d) [ /6;  /3] e) [5 /3 ;...

Podemos resolver essa questão utilizando identidades trigonométricas. Começamos manipulando a equação dada: sen(4x) = 1 + cos²(x) Usando a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x), podemos escrever: 2sen(2x)cos(2x) = 1 + cos²(x) Usando a identidade trigonométrica cos²(x) = 1 - sen²(x), podemos substituir na equação acima: 2sen(2x)cos(2x) = 1 + (1 - sen²(x)) 2sen(2x)cos(2x) = 2 - sen²(x) Agora, usando a identidade trigonométrica sen(2x) = 2sen(x)cos(x) novamente, podemos escrever: 4sen(x)cos(x)(1 - 2sen²(x)) = 2 - sen²(x) 4sen(x)cos(x) - 8sen³(x)cos(x) = 2 - sen²(x) 4sen(x)cos(x) + sen²(x) = 2 + 8sen³(x)cos(x) Usando a identidade trigonométrica sen²(x) + cos²(x) = 1, podemos substituir cos²(x) por 1 - sen²(x): 4sen(x)(1 - sen²(x)) + sen²(x) = 2 + 8sen³(x)cos(x) 4sen(x) - 4sen³(x) + sen²(x) = 2 + 8sen³(x)cos(x) Agora, podemos resolver para sen(x) e cos(x) em termos de sen³(x): sen(x) = ±√[(2 - sen²(x) - 4sen(x)) / 3] cos(x) = ±√[(2 + sen²(x) - 4sen²(x)) / 3] Observando as alternativas, podemos ver que a única que contém um intervalo em que sen(x) e cos(x) são positivos é a alternativa (b) [0; π/6]. Portanto, a resposta correta é a letra b).