07) Considere o sistema de equações dado por {3 log3 ???? + log9 ???? = 10 log9 ???? − 2 log3 ???? = 10. Em que a e b são reais positivos. Determine o valo...

Para resolver esse sistema de equações, podemos utilizar as propriedades dos logaritmos. Começando pela primeira equação: 3 log3 a + log9 b = 10 Podemos reescrever o logaritmo de base 9 em termos de logaritmos de base 3: log9 b = log3 b / log3 9 = log3 b / 2 Substituindo na primeira equação: 3 log3 a + log3 b / 2 = 10 Multiplicando toda a equação por 2: 6 log3 a + log3 b = 20 Agora, vamos para a segunda equação: 10 log9 a - 2 log3 b = 10 Substituindo novamente o logaritmo de base 9 em termos de logaritmos de base 3: 10 log3 a - 2 log3 b / log3 9 = 10 10 log3 a - log3 b = 10 Isolando o log3 b: log3 b = 10 - 10 log3 a Substituindo na primeira equação: 6 log3 a + (10 - 10 log3 a) = 20 Simplificando: 4 log3 a = 10 log3 a = 5/2 a = 3^(5/2) Substituindo na equação que isolamos o log3 b: log3 b = 10 - 10 (5/2) log3 b = -5 b = 3^(-5) Portanto, ab = 3^(5/2) * 3^(-5) = 3^(-5/2) = 1 / (3^(5/2))