Lista 4_ Logaritmos

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Lista de Logaritmos 04 
 
 
Prof. João Marcos 
 
1 
01) Determine o valor de y real positivo na equação (5𝑦)log𝑥 5 −
(7𝑦)log𝑥 7 = 0, em que x é um número real maior que 1. 
 
02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑏 √𝑥
3
+ 4, em que a e b são reais 
diferentes de zero. Dado que 𝑓(log10(log3 10)) = 5, calcule 
𝑓(log10(log10 3)). 
 
03) Sejam log 5 = 𝑚, log 2 = 𝑝 e 𝑁 = 125 √
1562,5
√2
5
3
. Determine o 
valor de log5 𝑁 em função de m e p. 
 
04) Determine a soma das raízes da equação: 
|
log 𝑥 log 𝑥 log 𝑥
log(6𝑥) log(3𝑥) cos 𝑥
1 1 𝑙𝑜𝑔²𝑥
| = 0 
05) Seja 𝑎𝑖 um dos termos da progressão geométrica com oito 
elementos (2, 1,
1
2
,
1
4
, … ) e 
𝑆 = log2 𝑎1 + log2 𝑎2 + ⋯ + log2 𝑎8 . 
Se 𝑏 =
𝑆
−5
 e 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 2𝑏| + |2𝑥 − 𝑏|, determine o valor 
de 𝑓(1). 
 
06) Sabendo que log 2 = 0,3010 , log 3 = 0,4771 e log 5 =
0,6989, o menor número entre as alternativas abaixo é 
a) 430 b) 924 c) 2540 d) 8120 e)62515 
 
07) Considere o sistema de equações dado por 
{
3 log3 𝑎 + log9 𝑏 = 10
log9 𝑎 − 2 log3 𝑏 = 10
 
 
Em que a e b são reais positivos. Determine o valor de ab. 
 
08) Determine os valores de x, y, z e r que satisfazem o sistema: 
 
 
09) Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. 
Sabendo que log𝑎 𝑑 , log𝑏 𝑑 , log𝑐 𝑑 são termos consecutivos 
de uma progressão aritmética, demonstre que: 
𝑐2 = (𝑎𝑐)log𝑎 𝑏 
 
10) Determine todos os valores de x que satisfazem a equação 
| log(12𝑥3 − 19𝑥2 + 8𝑥)| = log(12𝑥3 − 19𝑥2 + 8𝑥) . 
 
11) Sabe-se que log𝑎 𝑏 = 𝑋, log𝑞 𝑏 = 𝑌 e 𝑛 > 0, em que n é um 
número natural. Sendo c o produto dos n termos de uma 
progressão geométrica de primeiro termo a e razão q, calcule o 
valor de log𝑐 𝑏 em função de X, Y e n. 
 
12) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o 
sistema abaixo: 
{
𝑎𝑥 . 𝑏
1
𝑦 = √𝑎𝑏
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 = 𝑙𝑜𝑔1
𝑏
 𝑦 . 𝑙𝑜𝑔√𝑎 𝑏 
 
13) Considerando log 2 = a e log 3 = b, encontre, em função de a e b, 
o logaritmo do número √11,25
5
 no sistema de base 15. 
 
14) Seja f(x) = |3 − log (𝑥)|, 𝑥 ∈ 𝑅. Sendo n um número inteiro 
positivo, a desigualdade | 
𝑓(𝑥)
4
| + |
2𝑓(𝑥)
12
| + |
4𝑓(𝑥)
36
| + ⋯ +
|
2𝑛−3𝑓(𝑥)
3𝑛−1
| + ⋯ ≤
9
4
 somente é possível se: 
(A) 0 ≤ 𝑥 ≤ 106 
(B) 10−6 ≤ 𝑥 ≤ 108 
(C) 103 ≤ 𝑥 ≤ 106 
(D) 100 ≤ 𝑥 ≤ 106 
(E) 10−6 ≤ 𝑥 ≤ 106 
 
15) Resolva, nos reais, o sistema de equações: 
 
 
16) Determine o produto das raízes da equação: 
 
17) Determine o número de inteiros k que satisfazem à desigualdade: 
 
 
 
18) Sabendo que os reais positivos a, b, c formam uma PG e que a 
sequência 
 
é uma PA, ambas nessa ordem, então pode-se afirmar que a, b e c 
 
 
19) Dados os reais não nulos x e y tais que: 
 
 
Determine o valor da expressão: 
 
20) Determine os valores reais de x que satisfazem a inequação 
 
 
 
 
 
 2 
GABARITO 
 
1) 
1
35
 
 
2) 3 
 
3) 
70𝑚−6𝑝
15𝑚
 
 
4) 11,1 
 
5) 11 
 
6) a 
 
7) 1 
 
8) x=8, y=2, z=64, r=1 
 
9) Demonstração 
 
10) [
1
4
,
1
3
] ∪ [1, ∞) 
 
11) 
2𝑋𝑌
𝑛(2𝑌+(𝑛−1)𝑋)
 
 
12) 𝑦 = 2, 𝑥 = 0,5. 
 
13) 
2𝑏+1−3𝑎
5(𝑏+1−𝑎)
 
 
14) d 
 
15) {3
363
2 , 311} 
 
16) 
1
3
 
 
17) 90 
 
18) e 
 
19) 1 
 
20) ]
1
3
, 1[∪]3,9[