11. (Unesp 2014) A imagem mostra uma taça e um copo. A forma da taça é, aproximadamente, de um cilindro de altura e raio medindo R e de um tron...

Para que a capacidade da taça seja 2/3 da capacidade do copo, precisamos igualar os volumes da taça e do copo. O volume da taça é dado pela soma dos volumes do cilindro e do tronco de cone, ou seja: V_taça = πR²R + 1/3π(R²+r²+Rr)R Simplificando, temos: V_taça = πR³ + 1/3πR²r Já o volume do copo é dado pelo volume do tronco de cone, ou seja: V_copo = 1/3π(R²+2r²+2Rr)3R Simplificando, temos: V_copo = πR²r + 2/3πR²R Igualando os volumes, temos: πR³ + 1/3πR²r = πR²r + 2/3πR²R πR³ - 1/3πR²r - 2/3πR²R = 0 πR²(R - 1/3r - 2/3R) = 0 R - 1/3r - 2/3R = 0 -1/3r - 1/3R = 0 r = -R Como o raio não pode ser negativo, temos que: r = R/3 Portanto, o raio aproximado da base do copo, em função de R, para que a capacidade da taça seja 2/3 da capacidade do copo, é R/3.