29. (ITA 2010) As superfícies de duas esferas se interceptam ortogonalmente (isto é, em cada ponto da intersecção os respectivos planos tangentes s...

a) A distância entre os centros das duas esferas é de 30 cm. b) A área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas é de 16π cm². Explicação: a) Sejam O1 e O2 os centros das esferas de raios r1 = 2 cm e r2 = 32 cm, respectivamente. Sejam P e Q dois pontos de interseção das esferas. Como as esferas se interceptam ortogonalmente, temos que OP é perpendicular a OQ. Seja M o ponto médio do segmento PQ. Temos que OM é a metade da distância entre os centros das esferas. Pelo teorema de Pitágoras, temos que: r1² = PM² + OM² r2² = QM² + OM² Somando as duas equações, temos: r1² + r2² = PM² + QM² + 2OM² Como PM = QM, temos: r1² + r2² = 2PM² + 2OM² Substituindo PM² por (r1 + r2)²/4, temos: r1² + r2² = (r1 + r2)²/2 + 2OM² Isolando OM², temos: OM² = (r1² + r2² - (r1 + r2)²/2)/2 Substituindo os valores de r1 e r2, temos: OM² = (4 + 1024 - 1088)/2 = 240 Portanto, OM = 15 cm e a distância entre os centros das duas esferas é de 2OM = 30 cm. b) A área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas pode ser calculada como a soma das áreas das duas calotas esféricas que formam o sólido. A área de uma calota esférica de raio R e altura h é dada por: A = 2πRh No caso das esferas dadas, a altura das calotas é dada por: h = r1 - (d/2) + r2 - (d/2) = r1 + r2 - d onde d é a distância entre os centros das esferas. Substituindo os valores de r1, r2 e d, temos: h = 2 + 32 - 30 = 4 Portanto, a área de cada calota é: A = 2πR(4) = 8πR Substituindo os valores de R = 2 e R = 32, temos: A = 16π + 256π = 272π Portanto, a área da superfície do sólido obtido pela intersecção das duas esferas é de 16π cm².