11. (Enem) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângu...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a lei dos cossenos. Seja x a distância do barco até o ponto P da praia. Temos que: cos(30°) = x/2000 cos(2α) = x/d Onde d é a distância do ponto B até o ponto P. Como queremos encontrar x, podemos isolar d na segunda equação: d = x/cos(2α) Substituindo na segunda equação: cos(2α) = x/(x/cos(2α)) cos(2α) = x²/d Agora, podemos utilizar a lei dos cossenos no triângulo ABP: d² = x² + 2000² - 2*2000*x*cos(30°+2α) Substituindo cos(30°+2α) por cos(30°)cos(2α) - sen(30°)sen(2α): d² = x² + 2000² - 2*2000*x*(cos(30°)cos(2α) - sen(30°)sen(2α)) d² = x² + 2000² - 2000x*cos(30°)cos(2α) + 2000x*sen(30°)sen(2α) Substituindo cos(30°) por √3/2 e sen(30°) por 1/2: d² = x² + 2000² - 1000x√3cos(2α) + 1000xsen(2α) Substituindo cos(2α) por 2cos²(α) - 1 e sen(2α) por 2sen(α)cos(α): d² = x² + 2000² - 1000x√3(2cos²(α) - 1) + 1000x(2sen(α)cos(α)) d² = x² + 2000² - 2000x√3cos²(α) + 1000x√3 + 2000xsen(α)cos(α) Substituindo cos²(α) por 1 - sen²(α): d² = x² + 2000² - 2000x√3(1 - sen²(α)) + 1000x√3 + 2000xsen(α)cos(α) Substituindo sen(α) por x/d e cos(α) por √(1 - sen²(α)): d² = x² + 2000² - 2000x√3 + 2000x(d/d²)√(1 - (x/d)²) Simplificando: d² = x² + 2000² - 2000x√3 + 2000√(d² - x²) Isolando d²: d² - 2000√(d² - x²) = x² - 2000x√3 + 2000² (d² - x²) - 2000√(d² - x²) + 1000² = (x - 1000√3)² (d - x - 1000√(d² - x²)) (d + x - 1000√(d² - x²)) = (x - 1000√3)² Como d > x, a solução é: d - x - 1000√(d² - x²) = x - 1000√3 d = 2x + 1000√(3 - 2√3) Substituindo na equação d² = x² + 2000² - 2000x√3 + 2000√(d² - x²): (2x + 1000√(3 - 2√3))² = x² + 2000² - 2000x√3 + 2000√((2x + 1000√(3 - 2√3))² - x²) Simplificando: x² + 4000x√(3 - 2√3) + 5*10^6 - 3000√3 = 4x² + 4*10^6 3x² - 4000x√(3 - 2√3) + 5*10^6 - 3000√3 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, temos: x = 1000√3 Portanto, a resposta correta é a letra B) 1000√3 m.