32. (Fuvest 2016) Os pontos A,B e C são colineares, AB 5, BC 2 e B está entre A e C. Os pontos C e D pertencem a uma circunferência com...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras e a propriedade de que o ângulo inscrito em uma circunferência é a metade do ângulo central que subtende o mesmo arco. Primeiro, podemos encontrar o valor de AC utilizando o Teorema de Pitágoras: AC² = AB² + BC² AC² = 5² + 2² AC² = 29 AC = √29 Como C e D pertencem à circunferência com centro em A, temos que AC é o diâmetro dessa circunferência. Portanto, o ângulo ACB é reto. Como B é o ponto médio de BD, temos que AD é o dobro de AB: AD = 2AB AD = 2.5 AD = 10 O ponto P é a interseção da reta r com AD. Como r é perpendicular a BD e passa pelo seu ponto médio, temos que r é paralela a AC e passa pelo ponto médio de AC. Portanto, P é o ponto médio de AC. Assim, temos que AP = PC = AC/2 = √29/2. Pelo Teorema de Pitágoras, temos que BP² = BD² - PD². Como BD é o diâmetro da circunferência com centro em A, temos que BD = 2AC = 2√29. Além disso, como P é o ponto médio de AC, temos que PD = AC/2 = √29/2. Substituindo na fórmula, temos: BP² = (2√29)² - (√29/2)² BP² = 116 - 29/4 BP² = 435/4 BP = √(435/4) = √435/2 Portanto, AP + BP = √29/2 + √435/2 = (√29 + √435)/2. A alternativa correta é a letra E) 8.