Exercício 51 – (UDESC, 2018) A soma de todas as raízes reais da função ????(????) = cotg2(????) − 5/4sen2(????) + 2 pertencentes ao intervalo [????/2, 3????] é...

Para resolver esse exercício, precisamos encontrar as raízes da função e somá-las. Começando pela função: f(x) = cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 Para encontrar as raízes, podemos igualar a função a zero: cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 = 0 Multiplicando tudo por 4, temos: 4cotg²(x) - 5sen²(x) + 8 = 0 Usando a identidade trigonométrica cotg²(x) = 1/sen²(x) e substituindo, temos: 4/sen²(x) - 5sen²(x) + 8 = 0 Multiplicando tudo por sen²(x), temos: 4 - 5sen⁴(x) + 8sen²(x) = 0 Substituindo sen²(x) por t, temos uma equação quadrática: -5t² + 8t + 4 = 0 Resolvendo a equação, encontramos: t1 = 2/5 e t2 = 4/5 Substituindo de volta em sen²(x), temos: sen²(x) = 2/5 ou sen²(x) = 4/5 Tomando a raiz quadrada, temos: sen(x) = √(2/5) ou sen(x) = √(4/5) Como estamos procurando as raízes no intervalo [π/2, 3π], a única solução possível é: sen(x) = √(2/5) Usando a identidade trigonométrica cotg(x) = cos(x)/sen(x), temos: cotg(x) = cos(x)/√(2/5) Usando a fórmula da soma de arcos da tangente, temos: cotg(x) = tg(π/4 + x/2) Agora, precisamos somar todas as raízes no intervalo [π/2, 3π]. Como a função é periódica com período π, podemos restringir o intervalo para [π/2, π]. Assim, temos: tg(π/4 + π/6) + tg(π/4 + π/2) + tg(π/4 + 5π/6) Usando a fórmula da tangente da soma, temos: (1 + √3)/2 + 1 + (1 - √3)/2 = 2 Portanto, a soma de todas as raízes reais da função é igual a 2. Resposta: letra E) 73π/6.