Exercício 51 – (UDESC, 2018) A soma de todas as raízes reais da função ????(????) = cotg2(????) − 5/4sen2(????) + 2 pertencentes ao intervalo [????/2, 3????] é...

Para resolver esse exercício, precisamos encontrar as raízes da função e somá-las. Começando pela função: f(x) = cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 Para encontrar as raízes, podemos igualar a função a zero: cotg²(x) - 5/4sen²(x) + 2 = 0 Multiplicando tudo por 4, temos: 4cotg²(x) - 5sen²(x) + 8 = 0 Usando a identidade trigonométrica cotg²(x) = 1/sen²(x) - 1, temos: 4/sen²(x) - 5sen²(x) + 8 = 0 Multiplicando tudo por sen²(x), temos: 4 - 5sen⁴(x) + 8sen²(x) = 0 Substituindo sen²(x) por t, temos uma equação quadrática: -5t² + 8t + 4 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: t1 = 2/5 e t2 = 2 Substituindo de volta em sen²(x), temos: sen²(x) = 2/5 ou sen²(x) = 2 Como estamos procurando raízes reais no intervalo [π/2, 3π], a única solução possível é: sen²(x) = 2/5 Logo, temos: sen(x) = ±√(2/5) cotg(x) = 1/sen(x) cotg(x) = ±√(5/2) As raízes da função são: x1 = arccotg(√(5/2)) x2 = arccotg(-√(5/2)) x3 = π - arccotg(√(5/2)) x4 = π - arccotg(-√(5/2)) A soma dessas raízes é: x1 + x2 + x3 + x4 = 2π Portanto, a alternativa correta é a letra A) 4π.