Três circunferências C1, C2 e C3 são tangentes entre si, duas a duas, externamente. Os raios r1, r2 e r3 destas circunferências constituem, nesta o...

a) Para encontrar a área do triângulo cujos vértices são os centros de C1, C2 e C3, precisamos primeiro encontrar os raios das circunferências. Como r1, r2 e r3 formam uma progressão geométrica de razão 1/3, podemos escrever: r2 = (1/3)r1 r3 = (1/3)r2 = (1/3)^2 r1 = (1/9)r1 A soma dos comprimentos das circunferências é igual a: C1 + C2 + C3 = 2πr1 + 2πr2 + 2πr3 = 2πr1 + 2π(1/3)r1 + 2π(1/9)r1 = (26/π) Simplificando, temos: (26/π) = (26/9)r1 r1 = (9/26)π Agora podemos encontrar os outros raios: r2 = (1/3)r1 = (3/26)π r3 = (1/9)r1 = (1/26)π Para encontrar a área do triângulo, podemos usar a fórmula de Heron: s = (C1 + C2 + C3)/2 = (26/π)/2 = 13/π Área = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] Onde a, b e c são os lados do triângulo, que são iguais aos raios das circunferências. Substituindo, temos: Área = √[(13/π)((4/26)π)((2/26)π)((20/26)π)] = √(160/169) = (4/13)π Portanto, a área do triângulo é (4/13)π. b) Para encontrar o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do triângulo em torno da reta que contém o maior lado, precisamos primeiro encontrar esse lado. Como os raios formam uma progressão geométrica decrescente, o maior raio é r1. Portanto, o lado oposto ao vértice correspondente a C1 é o maior lado. Podemos encontrar esse lado usando o teorema de Pitágoras: a² = b² + c² a² = r2² + r3² a² = [(3/26)π]² + [(1/26)π]² a² = (10/169)π² a = √[(10/169)π²] Agora podemos encontrar o volume do sólido de revolução usando a fórmula: V = π∫[a,b] y² dx Onde y é a distância do ponto (x,0) ao lado do triângulo que será rotacionado (o lado oposto a C1). Essa distância é dada por: y = √(r1² - x²) Substituindo r1 e a, temos: y = √[(81/676)π² - x²] Agora podemos integrar: V = π∫[-a,a] y² dx V = π∫[-a,a] [(81/676)π² - x²] dx V = π[(81/676)π²x - (1/3)x³]∣∣∣-a^a V = π[(81/676)π²(√[(10/169)π²]) - (1/3)(√[(10/169)π²])³] V = (81/676)π³(2/3) - (10/169)π³(1/3) V = (2/507)π³(81 - 100) V = (19/507)π³ Portanto, o volume do sólido de revolução é (19/507)π³.