Dada a curva cuja equação é y = -2x2 + 2x + 12, determine: a) A equação da reta tangente a esta curva, que é paralela à corda comum aos círculos x2...

Para encontrar a equação da reta tangente à curva, que é paralela à corda comum aos círculos, precisamos primeiro encontrar o ponto de interseção entre as duas circunferências. Para isso, podemos resolver o sistema formado pelas equações dos círculos: x² - 4x + y² - 10y + 4 = 0 x² + 8x + y² - 16y + 76 = 0 Somando as duas equações, obtemos: 2x² + 2y² - 26y + 80 = 0 Podemos reescrever essa equação como: x² + (y - 13)² = 25 Isso nos dá o centro de uma circunferência de raio 5 e centro (0, 13). Agora, podemos encontrar os pontos de interseção entre essa circunferência e a curva dada: -2x² + 2x + 12 = y x² + (y - 13)² = 25 Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos uma equação quadrática em x: x² + (-2x² + 2x - 1)² - 25 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos dois valores de x: x = 1/2 e x = 3/2 Substituindo esses valores na primeira equação, encontramos os pontos correspondentes na curva: (1/2, 11) e (3/2, 9) Agora, podemos encontrar a equação da reta tangente à curva em um desses pontos. Vamos escolher o ponto (1/2, 11): y - 11 = f'(1/2)(x - 1/2) Para encontrar a derivada da função, basta derivá-la em relação a x: f(x) = -2x² + 2x + 12 f'(x) = -4x + 2 Substituindo x = 1/2, encontramos: f'(1/2) = -1 Substituindo na equação da reta, obtemos: y - 11 = -1(x - 1/2) y = -x + 12 Agora, podemos encontrar a área da superfície limitada pela curva dada e a reta 2x - y + 4 = 0 usando o cálculo integral. A área é dada por: A = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx Onde f(x) é a função que define a curva, g(x) é a função que define a reta e [a, b] é o intervalo de integração. Para encontrar os limites de integração, podemos resolver a equação da reta em relação a y: y = 2x + 4 Substituindo na equação da curva, obtemos: -2x² + 2x + 12 - (2x + 4) = -2x² - 2x + 8 Simplificando, temos: 4x² - 14x + 4 = 0 Resolvendo essa equação, encontramos: x = (7 ± √33)/2 Podemos escolher qualquer um desses valores como limite de integração. Vamos escolher x = (7 - √33)/2 como limite inferior e x = (7 + √33)/2 como limite superior. Substituindo na equação da reta, obtemos: y = 2(7 - √33)/2 + 4 = 7 - √33 + 4 = 11 - √33 y = 2(7 + √33)/2 + 4 = 7 + √33 + 4 = 11 + √33 Agora, podemos calcular a área: A = ∫[(7 - √33)/2, (7 + √33)/2] ((-2x² + 2x + 12) - (-x + 12)) dx A = ∫[(7 - √33)/2, (7 + √33)/2] (-2x² + 3x) dx A = [-2/3 x³ + 3/2 x²] [(7 - √33)/2, (7 + √33)/2] A = (-2/3 [(7 + √33)/2]³ + 3/2 [(7 + √33)/2]²) - (-2/3 [(7 - √33)/2]³ + 3/2 [(7 - √33)/2]²) A = 2/3 (33 + 14√33) ≈ 28,77 cm² Portanto, a área da superfície limitada pela curva dada e a reta 2x - y + 4 = 0 é de aproximadamente 28,77 cm².