2. (UNICAMP 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altur...

a) O volume do prisma pode ser calculado multiplicando a área da base pela altura. A área da base é a área de um hexágono regular, que pode ser encontrada usando a fórmula A = (3√3/2) x l², onde l é o comprimento de um lado do hexágono. Substituindo l = 5 cm, temos: A = (3√3/2) x 5² A = (3√3/2) x 25 A = (75√3/2) cm² Portanto, o volume do prisma é: V = A x h V = (75√3/2) x 10 V = 375√3 cm³ b) A seção do prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A' é um trapézio isósceles. Para encontrar a área dessa seção, precisamos encontrar a altura do trapézio. A altura é a distância entre o ponto B e o plano que contém o trapézio. Essa distância pode ser encontrada usando a fórmula da área do triângulo ABC: A = (1/2) x AB x BC (3√3/2) x 5 x AB = 150 AB = 10/√3 cm A altura do trapézio é a distância entre o ponto B e o ponto médio do segmento AA'. O ponto médio de AA' é o ponto M, que é o centro do hexágono. A distância entre B e M é a metade da altura do hexágono, que pode ser encontrada usando a fórmula h = √3/2 x l: h = √3/2 x 5/2 h = (5√3)/4 cm Portanto, a altura do trapézio é: h' = AB + BM h' = 10/√3 + (5√3)/4 h' = (40 + 15√3)/4 cm A área da seção é a média entre as áreas das bases (hexágonos) multiplicada pela altura do trapézio: A = [(75√3/2) + (75√3/2)]/2 x h' A = 75√3/4 x (40 + 15√3)/4 A = (375√3 + 225√3)/16 A = (600√3)/16 A = 75√3/2 cm² Portanto, a área da seção é 75√3/2 cm².