Lista 2_ Prismas

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GEO. ESPACIAL-2: PRISMAS 
 
 
Prof. Marcão 
 
1 
1. Um prisma hexagonal regular é cortado por um plano perpendicular 
a uma aresta de uma base , segundo um quadrado de diagonal 6 m . 
Calcular a área da base , a área lateral , a área total e o volume do prisma. 
 
2. (UNICAMP 2005) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas 
bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm 
cada um e a altura do prisma mede 10 cm. 
a) Calcule o volume do prisma. 
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos 
pontos A, C e A’. 
 
3. (Esc. Naval 2013) Num prisma hexagonal regular a área lateral é 
75% da área total. A razão entre a aresta lateral e a aresta da base é 
a) 
2 5
3
 b) 
3 3
2
 c) 
5 3
2
 
d) 
2 3
5
 e) 
5 2
3
 
 
4. (Uern 2015) A peça geométrica, desenvolvida através de um 
software de modelagem em três dimensões por um estudante do curso 
de engenharia e estagiário de uma grande indústria, é formada a partir de 
dois prismas de base hexagonal regular e assemelha-se ao formato de 
uma porca de parafuso. 
 
 
 
Considerando que o lado do hexágono maior mede 8cm; que o 
comprimento do prisma é igual a 35cm; e, que o lado do hexágono menor 
mede 6cm, então o volume da peça, de forma que se possa calcular, 
posteriormente, a quantidade de matéria-prima necessária à sua 
produção em massa em determinado período de tempo é, em 3cm : 
(Considere 3 1,7. ) 
 
a) 1.064. b) 1.785. c) 2.127. d) 2.499. 
 
5. (Ime 2015) Em um prisma oblíquo ABCDEFA'B'C'D'E'F', cuja 
base ABCDEF é um hexágono regular de lado a, a face lateral EFF'E' 
está inclinada 45 em relação à base, e a projeção ortogonal da aresta 
F'E' sobre a base ABCDEF coincide com a aresta BC. O volume do 
prisma é: 
a) 3
3 3
a
2
 b) 
39 a
4
 c) 3
5 3
a
3
 
d) 
39 a
2
 e) 
35 a
2
 
6. (Ufrgs 2015) O primeiro prêmio de um torneio recebe um troféu 
sólido confeccionado em metal, com as medidas abaixo. 
 
 
 
Considerando que as bases do troféu são congruentes e paralelas, o 
volume de metal utilizado na sua confecção é 
a) 100 3. b) 150 3. c) 1.000 3. 
d) 1.500 3. e) 3.000 3. 
 
7. (Unicamp 2016) Considere os três sólidos exibidos na figura abaixo, 
um cubo e dois paralelepípedos retângulos, em que os comprimentos das 
arestas, a e b, são tais que a b 0.  
 
 
 
a) Determine a razão r a b para a qual o volume de 1S é igual à soma 
dos volumes de 2S e 3S . 
b) Sabendo que a soma dos comprimentos de todas as arestas dos três 
sólidos é igual a 60 cm, determine a soma das áreas de superfície dos 
três sólidos. 
 
8. (Uerj 2011) A embalagem de papelão de um determinado 
chocolate, representada na figura abaixo, tem a forma de um prisma 
pentagonal reto de altura igual a 5 cm. 
 
 
 
Em relação ao prisma, considere: 
- cada um dos ângulos Â, , e da base superior mede 120º; 
- as arestas AB, BC e CD medem 10 cm cada. 
 
Considere, ainda, que o papelão do qual é feita a embalagem custa 
R$10,00 por m2 e que 
3 = 1,73. 
 
Na confecção de uma dessas embalagens, o valor, em reais, gasto 
somente com o papelão é aproximadamente igual a: 
a) 0,50 b) 0,95 c) 1,50 d) 1,85 
 
 
 2 
9. (Ufg 2000) A figura abaixo representa um prisma reto, de altura 10 
cm, e cuja base é o pentágono ABCDE. Sabendo-se que AB = 3 cm e BC 
= CD = DE = EA = 2 cm, calcule o volume do prisma. 
 
 
 
10. (Insper 2016) Um tanque, inicialmente vazio, tem a forma de 
prisma triangular regular e suas paredes têm espessuras desprezíveis. 
Após algum tempo despejando água no tanque, um cano de vazão 
33 3 m por minuto o encheu parcialmente, tendo a água ocupado o 
espaço de um prisma triangular regular, conforme indicado na figura. 
 
 
 
Funcionando na mesma vazão, o tempo necessário para que o cano 
acabe de encher o tanque é de 5 minutos e t segundos, sendo que t é 
um número no intervalo 
a) [1,12]. b) [13, 24]. c) [25, 36]. 
d) [37, 48]. e) [49, 59]. 
 
11. (Ufpr 2013) Um tanque possui a forma de um prisma reto, com as 
dimensões indicadas pela figura. Com base nisso, faça o que se pede: 
 
 
 
a) Quando estiver completamente cheio, quantos litros esse tanque 
comportará? 
b) Obtenha uma função que expresse o volume V de água no tanque 
como função da altura x. 
 
 
12. (INSTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) O volume de um 
prisma triangular regular é v , o ângulo entre as diagonais de duas faces, 
traçadas de um mesmo vértice é igual a  . Mostre que o lado ( ) da 
base desse prisma é dado pela em função de v e  pela formula: 
3
2
8.v.sen
2
3 12.sen
2
 
 
 

 
  
 
. 
 
 
13. (INTITUTO FÍSICO TÉCNICO DE MOSCOU) Em um prisma 
quadrangular regular traçam-se duas secções paralelas uma a outra . 
Uma delas passa pelos pontos médios de dois lados consecutivos da 
base e pelo ponto médio do eixo. A outra divide o eixo na proporção de 1: 
3 . Sabendo que a área da primeira secção é igual a S , achar a área da 
segunda. 
 
14 . (OBM2005) Um prisma é reto e tem como base um triângulo 
eqüilátero. Um plano corta o prisma mas não corta nenhuma de suas 
bases, determinando uma secção triangular de lados a, b e c. Calcule o 
lado da base do prisma em função de a, b e c. 
 
15. Um prisma quadrangular regular tem diagonal medindo d . O ângulo 
entre essa diagonal e a diagonal de uma face lateral é igual a  . Mostre 
que a área lateral desse prisma vale    24d .sen cos 2  
16. A base de um paralelepípedo reto é um paralelogramo, cujos lados 
são iguais a a e b . O ângulo obtuso entre os lados a e b é igual a  e a 
diagonal menor desse paralelepípedo é igual a diagonal maior da base. 
Mostre que o volume do paralelepípedo é dado por 
   2 a b sen a b cos         
17. (ITA1990) Considere um prisma triangular regular cuja aresta da 
base mede x cm. Sua altura é igual ao menor lado de um triângulo ABC 
inscritível num círculo de raio x cm. Sabendo-se que o triângulo ABC é 
semelhante ao triângulo de lados 3cm, 4cm e 5cm, o volume do prisma 
em cm3 é: 
a) 3
2
x
3
 b) 3
5
22
x c) 3
10
33
x
 
d) 3
10
3
x e) n.d.a. 
 
18. (ITA 1995) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-se que sua 
altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. 
O volume deste prisma, em 3cm , é 
a)27 3 b)13 2 c)12 d)54 3 e)17 5 
 
19. (ITA1986) Considere um prisma hexagonal regular tal que a razão 
entre a aresta da base a e a aresta lateral é 
3
3
. Sabendo-se que se 
a aresta da base for aumentada de 2 cm , o volume V do prisma ficará 
aumentado de 3108 cm . Considerando que a aresta lateral permanece a 
mesma, podemos afirmar que o volume do prisma é: 
3 3 3 3 33 27a)10 cm b)12 cm c) cm d)36 cm e) cm
2 2
 
 
20. (IME1986) Um prisma reto, de base hexagonal regular, tem 4,5 
centímetros cúbicos de volume e 12 centímetros quadrados de 
superfície lateral. Calcule o lado do hexágono e a altura do prisma. 
 
21. (Ime 2011) A base de um prisma reto 1 1 1
ABCA B C
 é um triângulo 
com o lado AB igual ao lado AC. O valor do segmento CD vale x, onde D 
é o ponto médio da aresta lateral 1AA . Sabendo que 
α é o ângulo ACB 
e 
β
 é o ângulo DCA, determine a área lateral do prisma em função de x, 
α e 
.β
 
 
 
 
 3 
22. Determine o volume de um prisma triangular oblíquo sendo a base 
um triângulo eqüilátero de lado 4 dm e a aresta lateral de 4 dm que forma 
um angulo de 60° com a base do prisma. 
 
23. As bases de um paralelepípedo oblíquo são retângulos de lados 
iguais a 5cm e 12cm. A aresta lateral mede 10 cm. Sabendo que a 
projeção ortogonal de um vértice da base superior sobre o plano da base 
inferior coincide com o centro dessa base, determine o volume do sólido. 
 
24. A secção reta de um prisma oblíquo é um losango, cujas diagonais 
são diretamente proporcionais a 3 e 4 . Calcular a área lateral do prisma 
sabendo que sua arestalateral mede 10 cm e que a área de sua secção 
reta mede 54 m2 
 
25. Calcular os senos dos ângulos formados pelos pares de faces 
laterais de um prisma oblíquo, cuja secção reta é um triângulo, sabendo 
que dois lados da secção medem, respectivamente 8 m e 10 m e que a 
aresta lateral e a área lateral do prisma são, respectivamente , iguais a 
12 m e 288 m2 
 
26. Em um prisma regular a razão entre as medidas de uma aresta 
lateral e de uma aresta da base é 2√3 . Se a relação das áreas das 
superfícies total e lateral é 5:4 , determine qual é o polígono de sua base. 
 Hexágono 
 
27. Em um prisma regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 − 𝐴,𝐵,𝐶 ,𝐷,𝐸 ,𝐹, , toma-se o ponto 
de intersecção K entre 𝐶𝐹̅̅̅̅ e 𝐷𝐴̅̅ ̅̅ e K’ que pertence a face A’B’C’D’E’F’. 
Se a área da região quadrada ABB’A’ é 16, calcule a área da superfície 
lateral do tronco de prisma CDK-C’D’K’. 
 
 
28. Em um prisma ABCDEF-A’B’C’D’E’F’ tomam-se os pontos médios M 
e O de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ respectivamente. Se AD=8 e AA’=4, calcule a área da 
superfície lateral do prisma oblíquo OMD-FN’E’. 
 
 
Gabarito 
 
1) 
27
2
 2) A) 375√3 B)50√3 3)B 
4)d 5) D 6) D 
7) A) 
𝑎
𝑏
=
1+√5
2
 b) 50 8) B 
9) 60 + 15√7 10) B 11)a) 15 b) 
15𝑥2
4
 
12) demonstração 13) 
12
11
 
14)
2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2( ) 2
.
3
a b c a b c a b a c b c       
 
15) e 16) demonstração 17) C 
18) D 19)D 
20) 𝑎 =
√3
6
 e 𝑙 = 4√3 21) 2𝑥2𝑠𝑒𝑛(2𝛽)(1 + 𝑐𝑜𝑠𝛼) 
22) 24 23) 30√231 24) 300 25)1, 
4
5
,
3
5
 
26) hexágono 27) 40 28) 6√7 + 2√15