19. (Ufrj 2002) Uma elipse cuja distância focal mede 1 cm está inscrita em um retângulo (de lados paralelos aos eixos principais da elipse) de área...

Para resolver esse problema, podemos utilizar as seguintes fórmulas: Área do retângulo = base x altura Área da elipse = π x a x b, onde a e b são os semi-eixos da elipse Sabemos que a distância focal da elipse é 1 cm, portanto, podemos utilizar a seguinte relação: c² = a² - b², onde c é a distância focal, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Substituindo c = 1, temos: 1² = a² - b² a² = b² + 1 Também sabemos que a área da elipse é igual a π x a x b, portanto: π x a x b = área da elipse π x a x b = 2 Substituindo a² = b² + 1 na equação acima, temos: π x (b² + 1) x b = 2 πb³ + πb = 2 b(πb² + π) = 2 b = 2/(πb² + π) Substituindo b na equação a² = b² + 1, temos: a² = b² + 1 a² = (2/(πb² + π))² + 1 a² = 4/(π²b^4 + 2πb² + 1) Agora podemos utilizar a relação entre a área do retângulo e a área da elipse: Área do retângulo = 2 x área da elipse base x altura = 2 x π x a x b Substituindo a e b nas equações acima, temos: base x altura = 4π/(π²b^4 + 2πb² + 1) Como a área do retângulo é igual a 2 cm², temos: base x altura = 2 Substituindo essa equação na equação anterior, temos: 4π/(π²b^4 + 2πb² + 1) = 2 π/(π²b^4 + 2πb² + 1) = 1/2 2πb^4 + 4πb² + 2 = π 2πb^4 + 4πb² - π + 2 = 0 Essa é uma equação do quarto grau que pode ser resolvida numericamente. A solução aproximada é: b ≈ 0,424 cm a ≈ 1,155 cm Portanto, as medidas dos lados do retângulo são aproximadamente: base ≈ 2,31 cm altura ≈ 0,87 cm