Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de ordem 2 tais que, 1 2 A 3 2 0 2 B. 1 4 A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 2X 2Y A B ...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade de que o determinante de uma matriz é distributivo em relação à soma de outras matrizes. Assim, temos: det(2X + 2Y) = det(2(X + Y)) = 2² det(X + Y) E também: det(2X + 2Y) = det(A - B) = det(A) - det(B) Substituindo a primeira equação na segunda, temos: det(A) - det(B) = 4 det(X + Y) Agora, podemos utilizar a propriedade de que o determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta. Assim, temos: det(X + Y) = det((X + Y)ᵀ) = det(Xᵀ + Yᵀ) = det(X + Y) Portanto, det(X + Y) é igual ao determinante da matriz somada com a sua transposta. Temos: X + Y = (X + Y)ᵀ Xᵀ + Yᵀ = X + Y (X - Xᵀ) + (Y - Yᵀ) = 0 Assim, as matrizes (X - Xᵀ) e (Y - Yᵀ) são simétricas e têm determinante igual a zero. Portanto, podemos escrever: det(X + Y) = det(X) + det(Y) + 2 det(X - Xᵀ) + 2 det(Y - Yᵀ) det(X + Y) = det(X) + det(Y) Substituindo na equação anterior, temos: det(A) - det(B) = 4 (det(X) + det(Y)) Substituindo os valores das matrizes A e B, temos: det(1 2) - det(3 2) = 4 (det(X) + det(Y)) det(0 2) det(1 4) = 4 (det(X) + det(Y)) -4 = 4 (det(X) + det(Y)) det(X) + det(Y) = -1 Portanto, a soma dos determinantes das matrizes X e Y é igual a -1. A alternativa correta é a letra D).