Tarefa Complementar - OCTA - Determinantes

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Tarefa Complementar – Aulas 35 e 36 
Determinantes 
 
Prof. Rodolfo Pereira Borges 
1 
1. (Uerj 2017) Observe a matriz: 
 
3 t 4
3 t 4
  
  
 
 
Para que o determinante dessa matriz seja nulo, o maior valor 
real de t deve ser igual a: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
2. (Mackenzie 2018) O valor do determinante 
1
3
1
3
1
3 3
3
3 3
0 log 3 log
1 log 27 log 27
0 log 81 log 243
 é 
a) 0 
b) 1 
c) 1 
d) 3 
e) 
1
3
 
 
 
3. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, 
considere a matriz quadrada de ordem 3, 
 
1 a 1
A b 1 a .
2 b 2
 
   
 
 
 
 
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem 
sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 10. 
 
 
4. (Udesc 2014) Se TA e 1A representam, respectivamente, 
a transposta e a inversa da matriz 
2 3
A ,
4 8
 
  
 
 então o 
determinante da matriz T 1B A 2A  é igual a: 
a) 
111
2

 
b) 
83
2

 
c) 166 
d) 
97
2
 
e) 62 
 
 
5. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada A, de ordem 
3, é definida por ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j
  
 
 
Então 1det(A ) é igual a 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 
1
.
4
 
e) 
1
.
2
 
 
6. (Feevale 2012) Sendo 
x y
6,
1 1
 o valor de 
3x 1 8
3y 1 8


 é: 
a) 6 
b) 8 
c) 24 
d) 128 
e) 144 
 
7. (Mackenzie 2017) Para a matriz quadrada 
cos17 0 sen17
M 1 1 1
sen28 0 cos28
  
   
   
 o valor do determinante de 10M 
é 
a) 
1
16
 
b) 
1
32
 
c) 
1
64
 
d) 
1
128
 
e) 
1
256
 
 
8. (Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, 
considere a matriz 
p 2
A
0 p
 
  
 
 e sua transposta TA . Se 
TA A é singular (não invertível), então 
a) p 0. 
b) | p | 1. 
c) | p | 2. 
d) p 3. 
 
9. (Uece 2019) Considere as matrizes 
1 2
M
3 1
 
  
 
 e 
p q
N .
u v
 
  
 
 Se M N N M,   é correto afirmar que o 
determinante da matriz N é igual a 
 
 
 2
a) 
2 22p 3q
.
3

 
b) 
2 23p 2q
.
3

 
c) 
2 23p 2q
.
2

 
d) 
2 22p 3q
.
2

 
 
10. (Unicamp 2019) Sabendo que a e b são números reais, 
considere a matriz quadrada de ordem 3, 
 
1 a 1
A b 1 a .
2 b 2
 
   
 
 
 
 
Se a soma dos elementos em cada linha da matriz A tem 
sempre o mesmo valor, então o determinante de A é igual a 
a) 0. 
b) 2. 
c) 5. 
d) 10. 
 
11. (Unicamp 2021) Considere a, b, c, d termos consecutivos 
de uma progressão aritmética de números reais com razão 
r 0. Denote por D o determinante da matriz 
a b
.
c d
 
 
 
 
 
É correto afirmar que 
2
D
r
 vale 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
 
 
12. (Unicamp 2020) Sabendo que p é um número real, 
considere a matriz 
p 2
A
0 p
 
  
 
 e sua transposta TA . Se 
TA A é singular (não invertível), então 
a) p 0. 
b) | p | 1. 
c) | p | 2. 
d) p 3. 
 
Aprofundamento 
 
 
1. (Udesc 2017) Sejam A, B, X e Y matrizes quadradas de 
ordem 2 tais que, 
1 2
A
3 2
 
   
 e 
0 2
B .
1 4
 
   
 
 
A soma dos determinantes das matrizes X e Y sabendo que 
2X 2Y A B   e rX 2Y A   é igual a: 
a) 4 
b) 72 
c) 144 
d) 24 
e) 102 
 
 
 
2. (Mackenzie 2017) Considerando m e n raízes da equação 
 
x x
2
2 2
2 8 0
log x log x 0 0,
1 2 3
 onde x 0, 
 
então m n é igual a 
a) 
2
3
 
b) 
3
4
 
c) 
3
2
 
d) 
4
3
 
e) 
4
5
 
 
3. (Unicamp 2016) Considere a matriz quadrada de ordem 3, 
cosx 0 sen x
A 0 1 0 ,
sen x 0 cosx
 
   
  
 onde x é um número real. 
Podemos afirmar que 
a) A não é invertível para nenhum valor de x. 
b) A é invertível para um único valor de x. 
c) A é invertível para exatamente dois valores de x. 
d) A é invertível para todos os valores de x. 
 
4. (Udesc 2016) Considere a matriz 
x 1 4 x
A ,
2 x
  
   
 
onde x . A quantidade de números inteiros que pertencem 
ao conjunto solução da inequação 48 det(A) 116  é igual 
a: 
a) 13 
b) 22 
c) 8 
d) 10 
e) 6 
 
5. (Udesc 2015) Considerando que A é uma matriz quadrada 
de ordem 3 e inversível, se 2det(3A) det(A ), então 
det(A) é igual a: 
a) 9 
b) 0 
c) 3 
 
 
 3
d) 6 
e) 27 
6. (Mackenzie 2013) Sendo 
senx cos x
A
cos x senx


 e 
2 2log 256 log 0,25
B 1 1
2 4
 números reais, o valor da 
expressão 1A B  é 
a) 3 
b) 
1
3
 
c) 
1
5
 
d) 1 
e) 5 
 
7. (Udesc 2012) Considere as matrizes 
2x 1 x
A
2 x
   
  
 e 
3 2
B .
1 1
 
  
 
 Se I representa a matriz identidade de ordem 
dois, então o produto entre todos os valores de x que 
satisfazem a equação      Tdet A B det B I det 2B    é 
igual a: 
a) 
4
–
3
 
b) 
2
–
3
 
c) 
3
2
 
d) 
5
2
 
e) 
1
–
3
 
 
8. (Udesc 2011) Classifique cada proposição e assinale (V) 
para verdadeira ou (F) para falsa. 
 
( ) Se ijA (a ) é uma matriz de ordem 2 3 tal que 
ija i 2j,  então o elemento que ocupa a posição da 
segunda linha e primeira coluna da matriz transposta 
de A é 3. 
 
( ) O determinante da matriz inversa de 
1 2 1
B é .
3 1 7
 
   
 
 
( ) Se 
T4 2 1 1 5 1C e D então (C D) .
1 2 0 1 4 2
      
               
 
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de 
cima para baixo. 
a) V – F – F 
b) F – V – V 
c) F – F – F 
d) V – V – F 
e) V – F – V 
 
 
9. (Famerp 2017) No estudo da dinâmica de populações é 
comum ser necessário determinar o número real λ na equação 
det(M I) 0,λ  em que M é uma matriz quadrada, I é a 
matriz identidade, da mesma ordem de M, e det representa o 
determinante da matriz (M I).λ 
 
Se, em um desses estudos, tem-se 
0 17 2
M 2 0 0 ,
1 0 0
 
   
  
 o valor 
positivo de λ é igual a 
a) 5. 
b) 8. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 6. 
 
10. (Unigranrio - Medicina 2017) Considere as funções 
x 0 x
f(x) 1 x 2
2 1 1
 e 
x 11 4
g(x) 10 11 x .
1 2 0

 Desta forma, pode-
se afirmar que o ponto de interseção das funções f(x) e g(x), 
é: 
a) (6, 30) 
b) (9, 90) 
c) (9, 72) 
d) (6, 42) 
e) (6, 42) 
 
11. (Uepg 2017) Sendo M uma matriz quadrada inversível, 
de ordem 3, assinale o que for correto. 
01) Se det(M) 5 e 1det(2 M M) x 1,    então x 7. 
02) Se det(M) 4 e se k é um número real tal que 
det(k M) 108,  então k 9. 
04) Se 
1
det M 24,
2
   
 
 então tdet(M ) 3. 
08) Se det(M) 2x 6  e tdet(M ) x 10,  então 
tdet(M M ) 16.  
16) Se det(M) x 2  e 1det(M ) x 8,   então o produto 
dos possíveis valores de x é 17. 
 
12. (Uece 2016) Se V é uma matriz quadrada e n é um 
número natural maior do que um, define-se n n 1V V V .  
Com essa definição, para a matriz 
1 2
V ,
0 1
 
  
 
 pode-se 
afirmar corretamente que o valor do determinante da matriz 
2 3 2016Y V V V V     é igual a 
 
 
 4
a) 2 2016. 
b) 2 2017. 
c) 2016 2016. 
d) 2016 2017. 
 
13. (Uem 2015) Considere as matrizes 
1 3
A
1 2
 
   
 e 
2 1
B .
0 3
 
  
 
 
 
Com relação aos conceitos de matrizes e determinantes, 
assinale o que for correto. 
01) 
3 4
A B
1 5
 
    
 e 
2 3
AB .
0 6
 
  
 
 
02) t
5 9
AB .
0 6
 
  
 
 
04) A matriz A é invertível e a sua inversa também é 
invertível. 
08) tdet(A) det(B ). 
16) 2 2 2[det(A) det(B)] det(A ) det( 2 AB) det(B ).     
 
 
 
14. (Ita 2014) Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, 
inversível, que satisfaz a igualdade 
 
2 33 2det(2M ) det( 2M ) det(3M).9
  
 
Então, um valor possível para o determinante da inversa de M 
é 
a) 
1
.
3
 
b) 
1
.
2
 
c) 
2
.
3
 
d) 
4
.
5
 
e) 
5
.
4
 
 
15. (Espm 2014) Se a matriz 
3 x
4 x 1
 
  
for multiplicada pelo 
valor do seu determinante, este ficará multiplicado por 49. 
Um dos possíveis valores de x é: 
a) 5 
b) –3 
c) 1 
d) –4 
e) 2 
 
16. (Epcar (Afa) 2013) Considere as matrizes A e B, 
inversíveis e de ordem n, bem como a matriz identidade I. 
Sabendo que  det A 5 e  1 1det I.B .A ,
3
  então o 
 t1 1det 3. B .A     é igual a 
a) n5 3 
b) 
n–1
2
3
5
 
c) 
n3
15
 
d) n 13  
 
17. (Efomm 2020) Seja a matriz A 
 
1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
1 8 27 64 125
1 16 81 256 625
 
 
Qual é o valor do determinante da matriz A? 
 
 
a) 96 
b) 98 
c) 100 
d) 144 
e) 288 
 
18. (Epcar (Afa) 2020) Considere: 
 
- a matriz 
x 1 1 1
A 0 1 0
x 2 1 x 1
  
   
   
 cujo determinante é 
det A M; 
- a matriz 
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
B 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
 
 
 
  
 
 
  
 cujo determinante é 
detB N; e 
- T 3 x  
 
Seja f uma função real definida por T Tf(x) log M log N  
 
Sobre o domínio de f, é correto afirmar que 
a) é o conjunto dos números reais. 
b) possui apenas elementos negativos. 
c) não tem o número 2 como elemento. 
d) possui três elementos que são números naturais. 
 
19. (Uece 2019) Na matriz 1 2
3 4
x x
M ,
x x
 
  
 
 os números reais 
 
 
 5
1 2 3x , x , x e 4x formam, nessa ordem, uma progressão 
geométrica crescente cujo primeiro termo 1x é maior do que 
zero. Se q é a razão dessa progressão, é correto afirmar que o 
determinante da matriz M (detM) satisfaz a dupla 
desigualdade 
a) q detM q.   
b) 0 detM q.  
c) 10 detM x q.   
d) 1 1x detM x q.   
 
 
20. (Espcex (Aman) 2018) Uma matriz quadrada A, de 
ordem 3, é definida por ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j
  
 
 
Então 1det(A ) é igual a 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) 
1
.
4
 
e) 
1
.
2
 
 
21. (Esc. Naval 2018) Dadas as matrizes: 
 
 
1 2 1
A 1 0 1 , x 2 13 65
1 1 1
 
   
  
 e TB x x.  
 
Qual é o valor do determinante de 1 22 A B ?  
a) 0 
b) 4 
c) 8 
d) 3.380 
e) 13.520 
 
22. (Upf 2018) Sabendo que x é um número real, o 
determinante da matriz abaixo é dado por: 
 
1 0 1
A 2 sen x 0
cos x 2 cos x
 
   
 
 
 
a) 2 2det A sen x cos x 4   
b) det A sen 2x 4  
c) det A 4 cos 2x  
d) 
1
det A sen 2x 2
2
  
e) 2det A 2 sen x 2   
 
23. (Unicamp 2021) Considere um número real t [0, 2 )π e 
defina a matriz 
 
2
2
1 0 cos (t) cos(t)sen(t)
H 2
0 1 cos(t)sen(t) sen (t)
           
 
 
a) Mostre que a matriz H é invertível. 
b) Determine valores de t tais que 
3 2
H .
2 3
   
    
   
 
 
24. (Ueg 2020) Calculando-se o determinante a seguir, 
obtém-se 
 
y 2 1
4 5 x
1 2 3


 
a) 24x y 15y 37   
b) 22x 17xy 37   
c) 2x 2xy 15y 37    
d) 2x 2xy 15y 37    
e) 2 22x y 17xy 37   
 
 
 
 6
 
 
 
 
GABARITO: 
 
 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
Tem-se que 
 
3 t 4
0 (t 3)(t 4) 12 0
3 t 4
t(t 1) 0
t 0 ou t 1.
 
     

  
  
 
 
Portanto, como 1 0, segue que a resposta é 1. 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Calculando: 
1
3
1
3
1
3 3
3
3 3
0 log 3 log
0 1 1
1 log 27 log 27 1 3 3 4 5 1
0 4 5
0 log 81 log 243
      
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Desde que 2 a a b 1 b 4,      temos a 3 e b 1. 
Logo, vem 
Chió
1 3 1
det A 1 1 3
2 1 2
2 2
5 0
10.





 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
O determinante de A é igual a 
2 3
2 8 4 3 4.
4 8
     
Logo, 1
8 3 3
2
4 4 4A .
4 2 1
1
4 4 2

       
    
          
 Daí, 
1
3
4
2A 2
2 1

  
 
  
 e, portanto, 
 
3 11
2 4 4 2
B .2 2
3 8
2 1 5 7
                        
 
 
O resultado pedido é 
 
11
2 11 83
2 7 5 .2
2 2
5 7

       
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
 
 
 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
11
1 2
12
1 3
13
21
2 2
22
2 3
23
31
32
3 3
33
a a a
A a a a
a a a
a 1 1
a 1 1
a 1 1
a 2 1 1
a 1 1
a 1 1
a 3 1 2
a 3 2 1
a 1 1






 
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
 
 
Então, 
 1
1 1 1
A 1 1 1
2 1 1
1 1 1
det A 1 1 1 4
2 1 1
1 1
det A
det A 4

 
   
  

  
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [E] 
 
x y
6 x y 6 ( I )
1 1
    
 
3x 1 8
8.(3x 1) 8.(3y 1) 24x 24y 24(x y) ( II )
3y 1 8

       

 
Substituindo (I) em (II), temos: 
 
3x 1 8
24.6 144
3y 1 8

 

 
 
 
 7
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
De 
cos17 0 sen17
M 1 1 1 ,
sen28 0 cos28
  
   
   
 
cos17 0 sen17
detM 1 1 1 .
sen28 0 cos28
 

 
 
 
Pela regra de Sarrus, 
   
 
detM cos17 1 cos28 0 1 sen28 sen17 1 0 sen17 1 sen28 cos17 1 0 0 1 cos28
detM cos17 cos28 sen17 sen28
detM cos 17 28
detM cos45
2
detM
2
                         
     
   
 

Então, 
10
10
5
10
10
10
2
detM
2
2
detM
2
1
detM
32
 
   
 


 
 
Resposta da questão 8: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
t p 2 p 0A A
0 p 2 p
2p 2
.
2 2p
   
     
   
 
  
 
 
 
Desse modo, como tA A é singular, vem 
 
2
2
2p 2
0 4p 4 0
2 2p
p 1
| p | 1.
   
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [D] 
 
Tem-se que 
1 2 p q p q 1 2
M N N M
3 1 u v u v 3 1
p 2u q 2v p 3q 2p q
.
3p u 3q v u 3v 2u v
       
             
       
      
          
 
 
Logo, vem 
3q
p 2u p 3q u
2
     
 
e 
q 2v 2p q v p.     
 
Desse modo, encontramos 
p q
N .3q
p
2
 
 
 
  
 
 
A resposta é 
2 2 2
2
p q
3q 2p 3q
p .3q
2 2p
2

   
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
Desde que 2 a a b 1 b 4,      temos a 3 e b 1. 
Logo, vem 
Chió
1 3 1
det A 1 1 3
2 1 2
2 2
5 0
10.





 
 
Resposta da questão 11: 
 [B] 
 
Se a, b, c e d estão em progressão aritmética, então 
(a, b, c, d) (a, a r, a 2r, a 3r).    Portanto, vem 
2 2 2
2
a a r
D
a 2r a 3r
a(a 3r) (a r)(a 2r)
a 3ar a 3ar 2r
2r .


 
    
    
 
 
 
A resposta é 
2
2 2
D 2r
2.
r r

   
 
 
Resposta da questão 12: 
 [B] 
 
Tem-se que 
 
t p 2 p 0A A
0 p 2 p
2p 2
.
2 2p
   
     
   
 
  
 
 
 
 
 
 8
Desse modo, como tA A é singular, vem 
 
2
2
2p 2
0 4p 4 0
2 2p
p 1
| p | 1.
   
 
 
 
 
 
Aprofundamento 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
De 2X 2Y AB  e TX 2Y A ,   
T
T
1
X Y AB
2
X 2Y A
1
Y AB A
2
  

  
 
 
 
De 
1 2
A
3 2
 
   
 e 
0 2
B ,
1 4
 
   
 
2 10
AB
2 2
 
   
 e T
1 3
A
2 2
 
   
 
 
Então, 
2 10 1 31
Y
2 2 2 22
0 8
Y
3 3
   
         
 
   
 
 
Substituindo 
0 8
Y
3 3
 
   
 e T
1 3
A
2 2
 
   
 na equação 
TX 2Y A ,   
0 8 1 3
X 2
3 3 2 2
1 13
X
4 4
   
          
 
   
 
 
Logo, 
     
1 13 0 8
det X det Y
4 4 3 3
det X det Y 1 4 13 4 0 3 8 3
det X det Y 72

  
 
           
  
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [C] 
 
Pela Regra de Sarrus, 
  
x x
2 x 2 x 2 x x
2 2 2 2 2 2
x x
2 x 2 x
2 2 2 2
2 8 0
log x log x 0 2 log x 3 8 0 1 0 log x 2 0 log x 1 2 0 2 8 log x 3
1 2 3
2 8 0
log x log x 0 3 2 log x 3 8 log x
1 2 3
                
     
 
Então, 
 
 
 
x 2 x
2 2
3x x
2 2
2x x
2
2x
2
2
3 2 log x 3 8 log x 0
3 2 2 log x 3 2 log x 0
2 log x 3 2 3 2 0
log x 3 2 3 2 0
log x 0 x 1
     
      
 
      
 
 
     
 
  
 
 
ou 
 
 
 
2x
2x
2x
2x
3 2 3 2 0
3 2 3 2
2 2
2 2
2x 1
1
x
2
   
  




 
 
Assim, sem perda de generalidade, m 1 e 
1
n ,
2
 ou seja, 
3
m n .
2
  
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Calculando o determinante da matriz A, encontramos 
 
2 2
cosx 0 senx
det A 0 1 0 cos x sen x 1.
senx 0 cos x

    
 
Portanto, como det A 0 para todo x real, segue-se que A 
é invertível para todos os valores de x. 
 
Resposta da questão 4: 
 [D] 
 
Desde que 
 
 
 
 9
2det A x (x 1) ( 2) (4 x) x 3x 8,          
 
temos 
2
2
2
x 3x 40 0
48 x 3x 8 116 e
x 3x 108 0
x 5 ou x 8
 e
9 x 12
9 x 5 ou 8 x 12.
  
    
  
  

  
      
 
 
Portanto, segue que a resposta é 10. 
 
Resposta da questão 5: 
 [E] 
 
Pelo Teorema de Binet, sabemos que 
det(A B) det(A) det(B),   com A e B sendo matrizes 
invertíveis. Além disso, temos ndet(kA) k det(A),  em que 
k é um número real e n é a ordem da matriz invertível A. 
Portanto, segue que 
 
2 3 2det(3A) det(A ) 3 det(A) det (A)
det(A) (det(A) 27) 0
det(A) 27.
   
   
 
 
 
 
Resposta da questão 6: 
 [B] 
 
 
 
2 2 2 2
2 2
1 1
A sen x cos x sen x cos x 1
1 1 1 1
B log 256 log 0,25 8 – 2 2 1 3
4 2 4 2
1
Então, A B 1 3 .
3
 
      
     
      



  
         
    

 


 
 
Resposta da questão 7: 
 [B] 
 
Calculando os determinantes das matrizes A e B, obtemos 
 
2 2 2det A x x 2x 3x x       e detB 3 1 1 2 1.     
 
Pelo Teorema de Binet, temos que 
 
2 2det(A B) det A detB ( 3x x) 1 3x x.          
 
Sabendo que ndet( M) detM,λ λ  com ,λ real e M sendo 
uma matriz quadrada de ordem n, e tdet(M ) detM, vem 
 
t 2 tdet(2B ) 2 detB 4 detB 4 1 4.       
 
Além disso, 
 
3 2 1 0 4 2
B I .
1 1 0 1 1 2
     
        
     
 
 
Logo, 
 
det(B I) 4 2 1 2 6.      
 
Por conseguinte, 
 
2 23x x 6 4 3x x 2 0.        
 
Segue, pelas relações entre coeficientes e raízes, que o produto 
de todos os valores reais de x que satisfazem a equação 
tdet(A B) det(B I) det(2B )    é igual a 
2 2
.
3 3

  
 
Resposta da questão 8: 
 [A] 
 
Verdadeira. 
Seja 21b o elemento da segunda linha e primeira coluna da 
matriz transposta de A. 
Temos que 21 12b a 1 2 2 3.      
 
 
Falsa. 
O determinante da matriz B é dado por 
detB 1 ( 1) 2 3 7.       
Sabendo que 1
1
detB ,
detB
  obtemos 
1 1 1 1 1detB .
detB 7 7 7
     

 
 
 
Falsa. 
Temos que 
4 0 4 2 4 2
C D .
1 0 1 2 1 1
      
            
 
Logo, T
4 1 5 1
(C D) .
2 1 4 2
    
          
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 [E] 
 
 
Tem-se que 
 
0 17 2 1 0 0
M I 2 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 1
17 2
2 0 .
1 0
λ λ
λ
λ
λ
   
        
     
 
   
  
 
 
 
 10 
 
Logo, vem 
 
17 2
det(M I) 0 2 0 0
1 0
( 6)( 6) 0
6 ou 0 ou 6.
λ
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ λ

    

   
    
 
 
A resposta é, portanto, 6.λ  
 
Resposta da questão 10: 
 [D] 
 
2 2 2
2 2
2 2 2
2
x 0 x
f(x) 1 x 2 x x 2x 2x x x
2 1 1
x 11 4
g(x) 10 11 x 11x 80 44 2x 2x 11x 36
1 2 0
2x 11x 36 x x x 12x 36 0 x 6
f(x) y x x 36 6 y 42
       

        
           
         
 
 
Resposta da questão 11: 
 01 + 16 = 17. 
 
[01] Verdadeira. De fato, pois 
1 3 1det(2 M M) x 1 2 det(M M) x 1
x 1 8 det(I)
x 1 8 1
x 7.
         
   
   
 
 
 
[02] Falsa. Tem-se que 
3
3
det(k M) 108 k det(M) 108
k 4 108
k 3.
    
  
 
 
 
[04] Falsa. Na verdade, temos 
3
t
1 1
det M 24 det(M) 24
2 2
det(M) 192 det(M ).
          
   
  
 
 
[08] Falsa. De imediato, vem 
tdet(M) det(M ) 2x 6 x 10
x 4.
    
 
 
 
Assim, temos tdet(M) det(M ) 14  e, portanto, 
t 2det(M M ) det (M) 196.   
 
[16] Verdadeira. Tem-se que 
1
2
det(M) det(M ) 1 (x 2)(x 8) 1
x 6x 17 0.
     
   
 
 
Em consequência, das Relações de Girard, podemos concluir 
que o produto das raízes dessa equação é igual a 17. 
 
Resposta da questão 12: 
 [C] 
 
De acordo com a definição, é fácil ver que n
1 2n
V ,
0 1
 
  
 
 
para todo n inteiro positivo. Logo, temos 
 
1 2 1 4 1 6 1 4032
Y
0 1 0 1 0 1 0 1
2016 2016 2017
.
0 2016
       
           
       
 
  
 

 
 
A resposta é 
det Y 2016 2016 0 2017 2016 2016 2016.       
 
Resposta da questão 13: 
 02 + 04 + 16 = 22. 
 
[01] INCORRETA. Fazendo as operações: 
1 3 2 1 3 4
A B
1 2 0 3 1 5
1 3 2 1 2 10
AB
1 2 0 3 2 5
     
              
     
             
 
 
[02] CORRETA. Fazendo as operações: 
t 1 3 2 0 5 9AB
1 2 1 3 0 6
     
            
 
 
[04] CORRETA. A condição para que uma matriz seja 
invertível é que seu determinante seja diferente de zero. 
Assim, pode-se escrever: 
1 1
1 3
det A 2 ( 3) det A 5 0
1 2
1 1
det A det A 0
det A 5
 
      

   
 
 
[08] INCORRETA. Fazendo as operações: 
t t
t
2 0
detB 6 0 detB 6
1 3
det A 5 det A detB
    
  
 
 
[16] CORRETA. Fazendo as operações: 
 
 
 11 
2 2 2
2 2
2 2
[det A detB] det(A ) det( 2 AB) det(B )
det A 5
detB 6
det(A ) (det A) 25
det(B ) (detB) 36
2 2 10 2
det( 2 AB) 20 ( 40) det( 2 AB) 60
2 2 5 2
    


 
 
       

 
 
Assim: 
2 2 2
2 2
[det A detB] (5 6) 11 121
121 121
det(A ) det( 2 AB) det(B ) 25 60 36 121
    

      
 
 
Resposta da questão 14: 
 [A] 
 
Sabendo que n ndet(A ) (det A) e ndet( A) det A,α α com 
A sendo uma matriz quadrada de ordem n e α um número 
real, temos 
 
2 3 3 3 3 2 33 3
2
2 2
det(2M ) det( 2M ) det(3M) ( 2) (detM) 2 (detM) 3 detM 0
9 9
2 detM ((detM) 4 detM 3) 0
2 detM (detM 3) (detM 1) 0
detM 0 ou detM 3 ou detM 1.
         
      
      
   
 
 
Mas M é invertível e, portanto, só pode ser detM 3, o que 
implica em 1
1
detM
3
  ou detM 1, o que implica em 
1detM 1.  
 
Resposta da questão 15: 
 [D] 
 
Seja k o determinante da matriz 
3 x
.
4 x 1
 
  
 Sabendo que 
ndet( A) det A,λ λ   com λ sendo um número real e n a 
ordem da matriz quadrada A, vem 
 
2 249 k k k k (k 49) 0
k 0 ou k 7 ou k 7.
      
    
 
 
Desse modo, se k 0, então 
 
3 x
0 3x 3 4x 0 x 3.
4 x 1
      

 
 
Se k 7,  então 
 
x 3 7 x 10.      
 
Se k 7, então 
 
x 3 7 x 4.      
 
Por conseguinte, um dos possíveis valores de x é 4. 
 
Resposta da questão 16: 
 [B] 
 
         1 1 1 1
1
1 1 1 1
det I B A det B A det B det A det B 5
3 3 3 3
1
detB
15
   

           

 
 
   t1 1 1 1 n 1 1 n
n n 1
2 2
1 1
det 3 B A det 3 (A B 3 det A B 3
5 15
3 3
3 5 5
     

                  
 

 
Resposta da questão 17: 
 [E] 
 
A matriz A é uma matriz de Vandermonde, e seu determinante 
é dado por: 
                   det A 2 1 3 1 3 2 4 1 4 2 4 3 5 1 5 2 5 3 5 4
det A 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1
det A 288
                   
         

 
 
Resposta da questão 18: 
 [C] 
 
Calculando o determinante da matriz A, obtemos 
2M x 3x 3.   
 
Calculando o determinante da matriz B, utilizando o teorema 
de Laplace, obtemos: 
1 1 1 1 4 1 1 1 4 1
0 0 0 1
0 0 1
0 0 1 0
N 1 ( 1) 1 (1) 1 ( 1) 0 1 0 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1
0 1 0 0
1 0 0
1 0 0 0
    


                   


 
 
Portanto, 
 
 
 
2
x 3 x 3
2
x 3
2
x 3
f(x) log x 3x 3 log 1
f(x) log x 3x 3 0
f(x) log x 3x 3
 


   
   
  
 
 
Considerando as condições de existência pra a função 
logarítmica, obtemos o seguinte sistema. 
2x 3x 3 0
x 3 0
   

 
 
 
A primeira inequação tem como solução qualquer número real 
, pois seu discriminante (delta) é menor que zero, já a segunda 
inequação admite soluções para valores de x maiores que 3. 
Portanto, o domínio desta função é definido para valores de x 
maiores que 3. 
 
Logo, a única opção correta é a [C]. 
 
Resposta da questão 19: 
 [A] 
 
Do enunciado, 
 
 
 12 
1 1
2 3
1 1
1 1
2 3
1 1
2 3 2 3
1 1
x x q
M
x q x q
x x q
det M
x q x q
det M x q x q
det M 0
 
  
  

 

 
 
Como a PG é crescente e 1x é positivo, q é positivo, logo, 
q 0.  
Daí, 
q 0 q
q det M q
  
  
 
 
 
Resposta da questão 20: 
 [D] 
 
 
 
 
 
 
 
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 1
11
1 2
12
1 3
13
21
2 2
22
2 3
23
31
32
3 3
33
a a a
A a a a
a a a
a 1 1
a 1 1
a 1 1
a 2 1 1
a 1 1
a 1 1
a 3 1 2
a 3 2 1
a 1 1






 
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
  
 
 
Então, 
 1
1 1 1
A 1 1 1
2 1 1
1 1 1
det A 1 1 1 4
2 1 1
1 1
det A
det A 4

 
   
  

  
 
 
 
Resposta da questão 21: 
 [A] 
 
Do enunciado, segue que: 
 
2
B 13 2 13 65
65
2 2 2 13 2 65
B 13 2 13 13 13 65
65 2 65 13 65 65
 
   
  
   
     
    
 
 
Daí, 
 
   
1 2 3 1 2
21 2
det 2 A B 2 det A detB
1
det 2 A B 8 detB
det A
 

    
    
 
 
Note que: 
2 2 2 13 2 65
detB 13 2 13 13 13 65
65 2 65 13 65 65
2 13 65
detB 2 13 65 2 13 65
2 13 65
detB 2 13 65 0
detB 0
  
   
  
   
   

 
 
Então, 
 
 
1 2 2
1 2
1
det 2 A B 8 0
det A
det 2 A B 0


    
  
 
 
Resposta da questão 22: 
 [B] 
 
Tem-se que 

  
 
 
1 0 1
2 sen x 0 sen xcos x 4 senxcos x
cos x 2 cos x
2senxcos x 4
sen2x 4.
 
 
Resposta da questão 23: 
 a) Sabendo que 2 2sen cos 1,α α  
sen2 2sen cosα α α e 2cos2 2cos 1,α α  para todo 
,α  temos 
2
2
1 2cos t 2cos t sen t
H
2cos t sen t 1 2sen t
cos2t sen2t
sen2t cos2t
  
 
   
  
   
 
 
A matriz H é invertível se, e somente se, seu determinante 
for diferente de zero. Logo, como 
 
 
 13 
2 2
cos2t sen2t
detH
sen2t cos2t
(cos 2t sen 2t)
1,
 


  
 
 
 
segue que H é invertível para todo t [0, 2 ).π 
 
b) Tem-se que 
cos2t sen2t 3 2 2sen2t 3cos2t 2
.
sen2t cos2t 2 3 3sen2t 2cos2t 3
            
                       
 
 
Em consequência, vem 
2sen2t 3cos2t 2 sen2t 1
3sen2t 2cos2t 3 cos2t 0
3
sen2t sen
2
3 7
t ou t .
4 4
π
π π
     
     
 
  
 
 
Resposta da questão 24: 
 [C] 
 
Tem-se que 
y 2 1
4 5 x 15y 2x 8 5 2xy 24
1 2 3
2x 2xy 15y 37.

     

    