(Udesc 2015) Considerando que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e inversível, se 2det(3A) det(A ), então det(A) é igual a: a) 9 b...

Podemos começar resolvendo a equação dada: 2det(3A) det(A) = det(9A^2) det(A) = det(9A^2A) = det(9A^3) Sabemos que det(AB) = det(A)det(B), então: det(9A^3) = 729 det(A)^3 Substituindo na equação inicial, temos: 729 det(A)^3 = 2det(3A) det(A) 729 det(A)^2 = 2det(3A) Como A é inversível, det(A) ≠ 0. Podemos dividir ambos os lados por det(A)^2: 729 = 2det(3A)/det(A)^2 729 = 2det(3A)(det(A)^(-2)) 729 = 2(det(3A)/det(A^2)) Como A é inversível, det(A) ≠ 0, então det(A^2) ≠ 0. Podemos dividir ambos os lados por det(A^2): 729/det(A^2) = 2det(3A)/det(A^2) 729/det(A^2) = 2det(3A/A^2) Sabemos que det(kA) = k^n det(A), onde n é a ordem da matriz A. Como A é uma matriz quadrada de ordem 3, temos: det(kA) = k^3 det(A) Podemos aplicar essa propriedade para simplificar a equação: 729/det(A^2) = 2det(3A/A^2) = 2(3^3 det(A)/det(A^2)) = 54(det(A)/det(A^2)) 729/det(A) = 54det(A) det(A) = 729/54 = 27/2 Portanto, a resposta correta é a letra E) 27.