31. Determine todos os números reais a para os quais as raízes da equação x 2−a x+a = 0 são números inteiros.

Para que as raízes da equação sejam números inteiros, o discriminante deve ser um quadrado perfeito. Assim, temos: Δ = a² - 4a Para que Δ seja um quadrado perfeito, precisamos que: a² - 4a = b² onde b é um número inteiro. Podemos reescrever a equação acima como: a² - 4a + 4 = b² + 4 (a - 2)² = b² + 4 (b + 2)(b - 2) = (a - 2)² Assim, (a - 2)² deve ser o produto de dois números consecutivos. Logo, as soluções para a são: a = 6 ou a = -2 Portanto, os números reais a para os quais as raízes da equação x² - ax + a = 0 são números inteiros são a = 6 e a = -2.