Sejam x1 e x2 as raízes da equação x 2+3x +1= 0. Determine o valor de � x1 x2+1 �2 + � x2 x1+1 �2.

Podemos utilizar a relação entre as raízes e o coeficiente angular da parábola para encontrar os valores de x1 e x2. A equação x^2 + 3x + 1 = 0 pode ser escrita como (x - x1)(x - x2) = 0, onde x1 e x2 são as raízes da equação. Expandindo a equação, temos: x^2 - (x1 + x2)x + x1x2 = 0 Sabemos que x1 + x2 = -3 e x1x2 = 1. Substituindo esses valores na expressão que foi dada, temos: (x1/x2 + 1)√2 + (x2/x1 + 1)√2 = [(x1 + x2)/x2]√2 + [(x1 + x2)/x1]√2 = [-3/x2]√2 + [-3/x1]√2 = -3(√2/x1 + √2/x2) = -3(√2(x1 + x2)/(x1x2)) = -3(√2(-3)/1) = -3√2(3) = -9√2 Portanto, o valor da expressão é -9√2.