01. (ITA) As dimensões de um paralelepípedo retângulo estão em progressão aritmética. Sabendo-se que a área total é s e a diagonal é d , então sua...

Vamos utilizar a fórmula para encontrar as dimensões do paralelepípedo retângulo. Sejam a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo em progressão aritmética, temos: a + b = 2c A área total é dada por: s = 2(ab + ac + bc) A diagonal é dada por: d² = a² + b² + c² Substituindo a = c - d e b = c + d na primeira equação, temos: (c - d) + (c + d) = 2c c = (a + b)/2 Substituindo c = (a + b)/2 na segunda equação, temos: s = 2(ab + a(a + b)/2 + b(a + b)/2) s = 2(ab + (a² + b² + 2ab)/2) s = a² + b² + 2ab Substituindo a = c - d e b = c + d na terceira equação, temos: d² = (c - d)² + c² + (c + d)² d² = 3c² + 2d² Substituindo c = (a + b)/2 na primeira equação, temos: d² = 3((a + b)/2)² + 2d² d² = 5(a² + b²)/2 + 2d² Substituindo s = a² + b² + 2ab na equação acima, temos: d² = 5s/2 + 2d² 3d² = 5s/2 d² = 5s/6 d = √(5s/6) Substituindo d = √(5s/6) na primeira equação, temos: c = (a + b)/2 = √(5s/6)/3 Substituindo c = √(5s/6)/3 na equação a + b = 2c, temos: a + b = 2√(5s/6)/3 a = √(5s/6)/3 - d b = √(5s/6)/3 + d Portanto, as dimensões do paralelepípedo retângulo são: a = √(5s/6)/3 - √(5s/6)/6 b = √(5s/6)/3 + √(5s/6)/6 c = √(5s/6)/3 Resposta: letra B.