05. (ITA 2011) Um cubo maciço homogêneo com 4,0 cm de aresta flutua na água tranquila de uma lagoa, de modo a manter 70% da área total da sua supe...

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Princípio de Arquimedes, que afirma que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. No caso do cubo, sabemos que ele flutua com 70% da sua área em contato com a água, o que significa que ele desloca um volume de água igual ao seu próprio volume. Como ele tem aresta de 4,0 cm, seu volume é de 4,0^3 = 64 cm^3. Portanto, o volume de água deslocado é também de 64 cm^3. Sabemos que o cubo afunda mais 0,50 cm na água quando a rã se acomoda em sua superfície. Isso significa que o volume de água deslocado aumentou em 0,5 x 4,0^2 = 8,0 cm^3. Portanto, o volume do cubo que está submerso na água é de 64 + 8 = 72 cm^3. A densidade do cubo é dada por sua massa dividida pelo seu volume. Seja x a densidade do cubo e y a massa da rã. Temos então: x = m_cubo / V_cubo y = m_rã A força de empuxo sobre o cubo é igual ao peso da água deslocada, que é dada por: F_empuxo = m_agua x g Como o cubo está em equilíbrio, a força de empuxo é igual ao peso do cubo e da rã juntos: F_empuxo = m_cubo x g + m_rã x g Substituindo as expressões acima, temos: m_agua x g = x x V_cubo x g + y x g m_agua = x x V_cubo + y Podemos agora resolver o sistema de equações formado pelas duas últimas expressões. Substituindo o valor de V_cubo, temos: 64 x 1 + 8 x 0,5 = 72 x x + y 64 + 4 = 72x + y 68 = 72x + y Como não temos informações suficientes para determinar x e y separadamente, precisamos de uma equação adicional. Podemos utilizar a informação de que o cubo é homogêneo, ou seja, tem a mesma densidade em todos os pontos. Portanto, podemos escrever: x = m_total / V_total Onde m_total é a massa do cubo e da rã juntos, e V_total é o volume total do cubo. Temos então: x = (m_cubo + m_rã) / V_total Substituindo as expressões para x e V_total, temos: x = (m_cubo + m_rã) / (a^3) x = (m_cubo + m_rã) / (4^3) x = (m_cubo + m_rã) / 64 Substituindo essa expressão na equação anterior, temos: 68 = 72 x (m_cubo + m_rã) / 64 + y y = 68 - 9 x (m_cubo + m_rã) / 8 Agora podemos utilizar a informação de que o cubo afunda mais 0,50 cm na água quando a rã se acomoda em sua superfície. Isso significa que o peso do cubo e da rã juntos aumentou em: delta_peso = m_cubo x g + m_rã x g delta_peso = (m_cubo + m_rã) x g Esse aumento de peso é igual à força de empuxo adicional que a rã exerce sobre o cubo: delta_peso = m_agua x g delta_peso = d_agua x V_agua x g delta_peso = 1 g/cm^3 x 8 cm^3 x g delta_peso = 8 g Portanto, temos: m_cubo x g + m_rã x g + 8 g = m_cubo x g + m_rã x g + m_agua x g 8 g = m_agua x g m_agua = 8 g / g m_agua = 8 g Substituindo esse valor na equação anterior, temos: y = 68 - 9 x (m_cubo + m_rã) / 8 8 = 68 - 9 x (m_cubo + m_rã) / 8 9 x (m_cubo + m_rã) / 8 = 60 m_cubo + m_rã = 64 / 3 Agora podemos substituir essa expressão na equação para x: x = (m_cubo + m_rã) / 64 x = (64 / 3) / 64 x = 1 / 3 Portanto, a densidade do cubo é de 0,33 g/cm^3 e a massa da rã é de: m_rã = 64 / 3 - m_cubo m_rã = 64 / 3 - 4^3 x 0,33 m_rã = 8 g Assim, a alternativa correta é a letra C: 0,70 g/cm^3 e 8,0 g.