Há duas retas que são tangentes à parábola 2y x 6x  e passam pelo ponto (8,15). O produto das inclinações dessas duas retas é igual a a) 48 b) 6...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a propriedade de que a inclinação da reta tangente a uma parábola no ponto (x0, y0) é dada por 2ax0 + b, onde a e b são os coeficientes da equação da parábola. Primeiro, precisamos encontrar os coeficientes a e b da parábola 2y = 6x^2. Derivando implicitamente, temos: dy/dx = 6x 2y dy/dx = 12x 2y = 12x^2 y = 6x^2 Portanto, a = 6 e b = 0. Agora, podemos usar a equação da reta para encontrar as duas retas tangentes que passam pelo ponto (8, 15): y - 15 = m1(x - 8) y - 15 = m2(x - 8) Substituindo y por 6x^2 na equação acima, temos: 6x^2 - 15 = m1(x - 8) 6x^2 - 15 = m2(x - 8) Agora, podemos encontrar m1 e m2 igualando as duas equações acima: m1(x - 8) = m2(x - 8) m1 = m2 Substituindo m1 por m2 na equação da reta, temos: y - 15 = m1(x - 8) y - 15 = m1(x - 8) Substituindo y por 6x^2, temos: 6x^2 - 15 = m1(x - 8) 6x^2 - 15 = m1(x - 8) Agora, podemos resolver o sistema acima para encontrar x e m1: 6x^2 - 15 = m1(x - 8) 6x^2 - 15 = m1(x - 8) m1(x - 8) = 6x^2 - 15 m1 = (6x^2 - 15)/(x - 8) Substituindo m1 na equação da reta, temos: y - 15 = (6x^2 - 15)/(x - 8)(x - 8) y - 15 = (6x^2 - 15)/(x - 8)^2 Agora, podemos encontrar o produto das inclinações das duas retas tangentes: m1 * m2 = [(6x^2 - 15)/(x - 8)^2]^2 = (6x^2 - 15)^2/(x - 8)^4 Substituindo x = 8 na equação acima, temos: m1 * m2 = (6*8^2 - 15)^2/(8 - 8)^4 = 48^2 = 2304 Portanto, a resposta correta é a letra A) 48.