3. (Fuvest-Ete 2022) Há duas retas que são tangentes à parábola 2y=x^2-6x e passam pelo ponto (8, 15). O produto das inclinações dessas duas retas...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o fato de que a reta tangente a uma parábola no ponto P(x1, y1) tem a mesma inclinação da reta que passa por P e pelo foco da parábola. A parábola 2y = x^2 - 6x pode ser escrita na forma y = (1/2)x^2 - 3x. Podemos completar o quadrado para obter a forma canônica y = (1/2)(x - 3)^2 - 9/2. Portanto, o foco da parábola é F(3, -4). As duas retas tangentes à parábola que passam pelo ponto (8, 15) devem ter inclinações iguais às retas que passam por esse ponto e pelo foco F(3, -4). Podemos calcular a inclinação dessas retas utilizando a fórmula: m = (y2 - y1)/(x2 - x1) Para a primeira reta, temos: m1 = (15 - (-4))/(8 - 3) = 19/5 Para a segunda reta, temos: m2 = (15 - (-4))/(8 - 3) = 19/5 Portanto, as duas retas têm a mesma inclinação de 19/5. O produto das inclinações é (19/5)^2 = 361/25. Assim, a alternativa correta é a letra E) 96.