Na figura, os segmentos AC e DE são paralelos entre si e perpendiculares ao segmento CD; o ponto B pertence ao segmento AC; F é o ponto médio do se...

Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a medida do segmento DF. Como o segmento AC é paralelo ao segmento DE e perpendiculares ao segmento CD, temos que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo CDE. Assim, temos que: AB/CD = BC/DE Substituindo os valores, temos: AB/CD = 10/DE AB = 10CD/DE Como F é o ponto médio do segmento AB, temos que AF = FB = 5CD/DE. Como ABE é um triângulo equilátero, temos que AE = BE = AB = 10CD/DE. Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, temos: CD² + DE² = CE² Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo ADF, temos: AF² + DF² = AD² Substituindo os valores encontrados anteriormente, temos: (5CD/DE)² + DF² = (10CD/DE)² - AE² Simplificando, temos: 25CD²/DE² + DF² = 100CD²/DE² - 36CD²/DE² DF² = 39CD²/DE² Como CD = DF + CF, temos: DF² = 39(DF + CF)²/DE² DF² = 39(DF² + 2DF·CF + CF²)/DE² Multiplicando ambos os lados por DE², temos: DF²·DE² = 39DF² + 78DF·CF·DE + 39CF² Como ABE é um triângulo equilátero, temos que CF = AE/2 = 3. Substituindo os valores, temos: DF²·DE² = 39DF² + 234DF + 351 Simplificando, temos: DE² = 39DF + 234/DF + 351/DF² Multiplicando ambos os lados por DF², temos: DE²·DF² = 39DF³ + 234DF² + 351DF Como a medida do segmento AE é 6 unidades de comprimento, temos que: DE² + AE² = AD² Substituindo os valores, temos: DF²·DE² + 36 = (10CD/DE)² Substituindo novamente os valores, temos: 39DF³ + 234DF² + 351DF + 36 = 100CD² Substituindo CD por DF + CF, temos: 39DF³ + 234DF² + 351DF + 36 = 100(DF + 3)² Simplificando, temos: 39DF³ + 234DF² + 351DF + 36 = 100DF² + 900DF + 2700 39DF³ - 766DF² - 5496DF - 2664 = 0 Podemos utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de DF: DF = (-b ± √(b² - 4ac))/2a Substituindo os valores, temos: a = 39, b = -766, c = -5496 DF = (-(-766) ± √((-766)² - 4·39·(-5496)))/2·39 DF = (766 ± √(588484))/78 DF = (766 ± 766)/78 ou DF = (766 ± √588484)/78 DF = 19,56 ou DF = -3,06 Como a medida do segmento DF não pode ser negativa, temos que a resposta correta é a letra E) 18.