(Unicamp 2021) Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo a a medida do menor lado e A a...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a fórmula da área do triângulo retângulo, que é dada por A = (b x h)/2, onde b é a medida da base e h é a medida da altura. Sabemos que as medidas dos lados do triângulo estão em progressão geométrica, então podemos representá-las por a, ar e ar², onde r é a razão da progressão. Como o triângulo é retângulo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar a relação entre as medidas dos lados: a² + (ar)² = (ar²)² a² + a²r² = a²r⁴ 1 + r² = r⁴ r⁴ - r² - 1 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos que r² = (1 + √5)/2, já que r deve ser positivo e menor que 1. Agora podemos encontrar a medida da base e da altura do triângulo: b = ar² = a(1 + r²) = a(1 + √5)/2 h = a Substituindo esses valores na fórmula da área, temos: A = (b x h)/2 A = (a(1 + √5)/2 x a)/2 A = a²(1 + √5)/4 Agora podemos verificar qual das alternativas corresponde a essa expressão: a) 2 2 5 2 A a . 4   Substituindo A por a²(1 + √5)/4, temos: 2 2 5 2 a²(1 + √5)/4 a . 4 + = a²(1 + √5) + 2a² = 4a²(1 + √5)/4 a²(3 + √5) = a²(1 + √5) Essa alternativa não está correta. b) 2 2 5 2 A a . 4   Substituindo A por a²(1 + √5)/4, temos: 2 2 5 2 a²(1 + √5)/4 a . 4 - = a²(1 + √5) - 2a² = 4a²(1 + √5)/4 a²(√5 - 1) = a²(1 + √5) Essa alternativa não está correta. c) 2 2 5 2 A a . 2   Substituindo A por a²(1 + √5)/4, temos: 2 2 5 2 a²(1 + √5)/4 a . 2 + = a²(1 + √5)/2 + a² = 2a²(1 + √5)/4 a²(2 + √5) = a²(1 + √5) Essa alternativa não está correta. d) 2 2 5 2 A a . 2   Substituindo A por a²(1 + √5)/4, temos: 2 2 5 2 a²(1 + √5)/4 a . 2 - = a²(1 + √5)/2 - a² = 2a²(1 + √5)/4 a²(√5 - 1)/2 = a²(1 + √5)/4 Essa é a alternativa correta. Portanto, a resposta é a alternativa d) 2 2 5 2 A a . 2  .