Considere que as medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em progressão geométrica. Sendo a a medida do menor lado e A a área desse triâ...

A resposta correta é a alternativa (c) 2 2 5 2 A a . 2  . Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Sejam a, q*a e q^2*a as medidas dos lados do triângulo retângulo em progressão geométrica, onde q é a razão da progressão. Então, temos: (a^2) + (q*a)^2 = (q^2*a)^2 a^2 + q^2*a^2 = q^4*a^2 1 + q^2 = q^4 q^4 - q^2 - 1 = 0 Resolvendo essa equação do segundo grau, encontramos que q^2 = (1 + √5)/2, já que q deve ser positivo. A área do triângulo retângulo é dada por A = (a*q*a)/2 = (a^2*q)/2. Substituindo q^2 por (1 + √5)/2, temos: A = (a^2*(1 + √5))/4 Multiplicando ambos os lados por 4/2, temos: 2A = a^2*(1 + √5)/2 Multiplicando ambos os lados por 2/1 + √5, temos: 2A*(1 - √5)/2 = a^2 Simplificando, temos: a^2 = 2A*(√5 - 1) Substituindo na alternativa (c), temos: 2 2 5 2 A a . 2   2*(2A*(√5 - 1))^(1/2) = a a^2 = 2A*(√5 - 1) = 2A*(2 - √5) a = (2A*(2 - √5))^(1/2) Substituindo na alternativa (c), temos: 2 2 5 2 A a . 2   2*(2A*(√5 - 1))^(1/2) = (2A*(2 - √5))^(1/2) 4A*(√5 - 1) = 2A*(2 - √5) 4√5A - 4A = 4A - 2√5A 6A = 6√5A A = a^2*(√5 - 1)/2 Portanto, a alternativa (c) está correta.