Um aluno curioso resolveu criar uma espiral usando semicírculos em um processo infinito da seguinte forma: ele começa com uma semicircunferência ce...

Para calcular o comprimento total da espiral infinita, podemos usar a fórmula para o comprimento de uma curva em coordenadas polares, que é dada por: L = ∫[a,b] √[r² + (dr/dθ)²] dθ Onde r é a função que descreve a curva em coordenadas polares. No caso da espiral de semicírculos, podemos descrevê-la como: r(θ) = 1/2^floor(θ/π) Onde floor(x) é a função que retorna o maior número inteiro menor ou igual a x. Substituindo na fórmula acima, temos: L = ∫[0,∞] √[1/4^floor(θ/π) + (1/2^floor(θ/π) * ln(1/2))²] dθ Infelizmente, essa integral não pode ser resolvida analiticamente, então precisamos aproximar o valor do comprimento total. Podemos fazer isso calculando a soma dos comprimentos de arco de cada semicírculo, que é dado por: L_n = π/2^n Onde n é o número de semicírculos na espiral. Portanto, o comprimento total da espiral é dado por: L = ∑[n=0,∞] π/2^n = π/(1 - 1/2) = 2π Portanto, a alternativa correta é a letra b) 2π.