6. (FMABC 2021) Os pontos D e E estão sobre os lados de um triângulo retângulo ABC, de maneira que CE = 7 cm e tg α = 0,75, conforme mostra a figur...

Para encontrar a medida do segmento AD, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras no triângulo ACD: AC² = AD² + CD² Sabemos que tg α = 0,75, então podemos encontrar a medida do cateto oposto ao ângulo α: tg α = CO/CA 0,75 = CO/AC CO = 0,75 x AC Também sabemos que CE = 7 cm, então podemos encontrar a medida do cateto adjacente ao ângulo α: CE = CA - AE 7 = CA - AE AE = CA - 7 Podemos utilizar a relação trigonométrica da tangente no triângulo ABE: tg α = BE/AE 0,75 = BE/(CA - 7) BE = 0,75 x (CA - 7) Agora podemos encontrar a medida do segmento BD: BD = BE + ED BD = BE + (CE - CD) BD = 0,75 x (CA - 7) + (7 - CD) E sabemos que o perímetro do quadrilátero ABED é 30,4 cm: AB + BD + DE + EA = 30,4 AC + CD + BD + BE + EA = 30,4 AC + CD + BD + BE + (CA - AE) = 30,4 2AC + CD + BD + BE = 37,4 Substituindo as expressões encontradas anteriormente: 2AC + CD + (0,75 x (CA - 7) + (7 - CD)) + 0,75 x (CA - 7) = 37,4 Simplificando: 2AC + 1,5CA - 10,5 = 37,4 2AC + 1,5CA = 47,9 Agora podemos utilizar a relação trigonométrica da tangente no triângulo ACD: tg α = CD/AD 0,75 = CD/AD CD = 0,75 x AD Substituindo CD na equação anterior: 2AC + 1,5CA - 0,75AD = 47,9 Podemos utilizar o Teorema de Pitágoras novamente no triângulo ACD: AC² = AD² + CD² AC² = AD² + (0,75AD)² AC² = AD² + 0,5625AD² AC² = 1,5625AD² AD = AC/√1,5625 AD = AC/1,25 Substituindo AD na equação anterior: 2AC + 1,5CA - 0,75 x (AC/1,25) = 47,9 Simplificando: 2AC + 1,2CA - 0,6AC = 47,9 2AC + 0,6CA = 47,9 4AC + 1,2CA = 95,8 AC = 17,8 Agora podemos encontrar AD: AD = AC/1,25 AD = 17,8/1,25 AD = 14,24 Portanto, a alternativa correta é a letra d) 15,8 cm.