Seja um ângulo x tal que x ∈ [0, 2π], resolva a equação 2cos2(x) − cos(x) − 1 = 0. a) 0° ≤ x ≤ 360° b) 0° ≤ x ≤ 90° c) x ∈ ℝ

Para resolver a equação \(2\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0\), podemos fazer uma substituição. Vamos chamar \(y = \cos(x)\). Assim, a equação se torna: \[2y^2 - y - 1 = 0\] Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara: \[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] onde \(a = 2\), \(b = -1\) e \(c = -1\). Calculando o discriminante: \[ b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] Agora, substituindo na fórmula de Bhaskara: \[ y = \frac{1 \pm 3}{4} \] Isso nos dá duas soluções: 1. \(y_1 = \frac{4}{4} = 1\) 2. \(y_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\) Agora, voltamos para \(x\): 1. Para \(y_1 = 1\): \(\cos(x) = 1\) implica \(x = 0\). 2. Para \(y_2 = -\frac{1}{2}\): \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\) implica \(x = \frac{2\pi}{3}\) e \(x = \frac{4\pi}{3}\). Assim, as soluções para \(x\) no intervalo \(x \in [0, 2\pi]\) são: - \(x = 0\) - \(x = \frac{2\pi}{3}\) - \(x = \frac{4\pi}{3}\) Agora, analisando as alternativas: a) 0° ≤ x ≤ 360° - Correto, pois abrange todas as soluções encontradas. b) 0° ≤ x ≤ 90° - Incorreto, pois não inclui todas as soluções. c) x ∈ ℝ - Incorreto, pois estamos limitados ao intervalo [0, 2π]. Portanto, a alternativa correta é: a) 0° ≤ x ≤ 360°.