Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z. Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções. b) Para θ encontrado em (a), determi...

(a) Para que o sistema tenha infinitas soluções, é necessário que as equações sejam linearmente dependentes. Assim, temos: ``` x + y + z = 1 2x + 3y + (θ + 1)z = θ 3x + 4y + (2θ + 1)z = θ² ``` Podemos obter a dependência linear entre as equações ao subtrair a primeira equação das outras duas: ``` x + y + z = 1 x + 2y + (θ - 1)z = θ - 1 2x + 3y + (θ + 1)z = θ ``` Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 2x + 3y + (θ + 1)z = θ ``` Subtraindo a primeira equação da terceira, obtemos: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 x + 2y + (θ - 2)z = θ - 1 ``` Agora, podemos subtrair a segunda equação da terceira: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 x + y + (3 - θ)z = 3 - 2θ ``` Se multiplicarmos a segunda equação por (3 - θ) e subtrairmos da terceira, obtemos: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 (θ - 2)y + (θ - 2)z = (θ - 2)(3 - θ) ``` Simplificando, temos: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 (θ - 2)(y + z) = (θ - 2)(3 - θ) ``` Se θ ≠ 2, podemos dividir a terceira equação por (θ - 2) e obter: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)z = θ - 2 y + z = 3 - θ ``` Agora, podemos substituir a terceira equação na segunda e obter: ``` x + y + z = 1 y + (θ - 2)(3 - θ - y) = θ - 2 y + z = 3 - θ ``` Simplificando, temos: ``` x + y + z = 1 (θ - 2)y - θ² + 5θ - 6 = 0 y + z = 3 - θ ``` Resolvendo a segunda equação para z, temos: ``` z = 3 - θ - y ``` Substituindo em x + y + z = 1, temos: ``` x + y + 3 - θ - y = 1 x + 2y - θ + 2 = 0 ``` Resolvendo a segunda equação para x, temos: ``` x = θ - 2y - 2 ``` Assim, o conjunto-solução do sistema é: ``` {(θ - 2y - 2, y, 3 - θ - y) | θ ≠ 2} ``` (b) Substituindo θ = 3 na equação de z, temos: ``` z = 3 - θ - y z = 3 - 3 - y z = -y ``` Substituindo θ = 3 e z = -y na primeira equação, temos: ``` x + y + z = 1 x + y - y = 1 x = 1 ``` Assim, o conjunto-solução do sistema para θ = 3 é: ``` {(1, y, -y) | y ∈ ℝ} ```