Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z     x y 2z 0 x sen y 4z 0, 2x 1 cos2 y 16z θ θ                0,2 .θ π...

Para que o sistema tenha infinitas soluções, é necessário que as equações sejam múltiplas uma da outra ou que uma equação seja combinação linear das outras duas. Analisando as equações, podemos ver que a primeira equação é linearmente independente das outras duas, pois não é possível escrevê-la como combinação linear das outras duas. No entanto, a segunda e a terceira equações são múltiplas uma da outra, pois a terceira equação é igual a 2 vezes a segunda equação. Portanto, para que o sistema tenha infinitas soluções, é necessário que a primeira equação seja satisfeita e que a segunda ou a terceira equação também seja satisfeita. Para encontrar θ, podemos usar a segunda equação, que é mais simples. Temos: x sen(y) + 4z = 0 Substituindo x por 0,2θ, temos: 0,2θ sen(y) + 4z = 0 Isolando z, temos: z = -0,05θ sen(y) Agora, podemos substituir essa expressão na terceira equação: 2x + (1 - cos²(y))16z = 0 Substituindo x e z, temos: 2(0,2θ) + (1 - cos²(y))16(-0,05θ sen(y)) = 0 Simplificando, temos: 0,4θ - 0,8θ sen²(y) = 0 Dividindo por 0,4θ, temos: 1 - 2sen²(y) = 0 sen²(y) = 1/2 sen(y) = ±√(2)/2 y = π/4 ou y = 3π/4 Portanto, para que o sistema tenha infinitas soluções, θ deve ser um número real entre 0 e 2π/5 (pois sen(y) é positivo nesse intervalo). Para encontrar o conjunto-solução do sistema, podemos substituir θ = π/3 (por exemplo) na primeira e na segunda equações e resolver para x, y e z. Temos: x + y√2 + 4z = 0 0,2π/3 sen(y) + 4z = 0 Substituindo y = π/4, temos: x + π/4√2 + 4z = 0 0,2π/3 (1/√2) + 4z = 0 Resolvendo o sistema, encontramos: x = -π/8√2 y = π/4 z = π/30 Portanto, o conjunto-solução do sistema é {(x, y, z) = (-π/8√2, π/4, π/30)}.