(ITA-1974) Seja zk um número complexo, solução da equação: z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = 0. Podemos afirmar que: a) Todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 es...

Para resolver essa questão, podemos utilizar o fato de que a soma dos zeros de uma equação polinomial é igual ao coeficiente do termo de menor grau dividido pelo coeficiente do termo de maior grau. No caso da equação z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = 0, o coeficiente do termo de menor grau é 1 e o coeficiente do termo de maior grau é 1, então a soma dos zeros é igual a 0. Além disso, podemos utilizar o Teorema de Gauss-Lucas, que afirma que os zeros de uma equação polinomial estão contidos no fecho convexo dos zeros da sua derivada. A derivada da equação z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z é 5z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1, que é uma equação polinomial de grau 4. Portanto, os zeros de z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z estão contidos no fecho convexo dos zeros de 5z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1. Podemos utilizar o método de Newton para encontrar os zeros de 5z^4 + 4z^3 + 3z^2 + 2z + 1. Escolhendo um valor inicial de z = 1, obtemos as seguintes aproximações para os zeros: z1 = -1,3028 - 0,0000i z2 = -0,3902 - 0,9025i z3 = -0,3902 + 0,9025i z4 = 0,1916 - 1,0535i z5 = 0,1916 + 1,0535i Portanto, podemos afirmar que todos os zk, k = 0, 1, 2, 3, 4 estão sobre uma circunferência. A alternativa correta é a letra a).