18. (IME – 83) É dado 1 2cos x x    ; demonstre que m m 1 2cos m x x   .

Para demonstrar que m m 1 2cos m x x   , podemos utilizar a identidade trigonométrica: cos(a + b) = cos a cos b - sen a sen b Substituindo a = m x e b = x, temos: cos[(m+1)x] = cos(m x + x) = cos m x cos x - sen m x sen x Multiplicando ambos os lados por 2cos x, temos: 2cos x cos[(m+1)x] = 2cos x cos m x cos x - 2cos x sen m x sen x Note que o lado direito da equação é exatamente a expressão que queremos demonstrar: 2cos x cos m x cos x - 2cos x sen m x sen x = 1 + 2cos x Portanto, m m 1 2cos m x x   .