9. (LEDERMANN) Mostre que os números complexos 1 2 3, ,z z z correspondem aos vértices de um triângulo equilátero se e somente se 1 2 3 2 3 3 1 1 2...

Para mostrar que os números complexos 1, 2 e 3 correspondem aos vértices de um triângulo equilátero, precisamos verificar se as distâncias entre eles são iguais. Podemos calcular as distâncias usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo: d(z1, z2) = |z2 - z1| Assim, temos: d(1, 2) = |2 - 1| = 1 d(2, 3) = |3 - 2| = 1 d(3, 1) = |1 - 3| = 2 Portanto, as distâncias entre os pontos não são iguais e, portanto, eles não formam um triângulo equilátero. Agora, para mostrar que a equação 1² + 2² + 3² + 2(z1z2 + z2z3 + z3z1) = (z1 + z2 + z3)² é satisfeita se e somente se os pontos correspondem aos vértices de um triângulo equilátero, podemos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo e a propriedade de que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais. Se os pontos correspondem aos vértices de um triângulo equilátero, então as distâncias entre eles são iguais. Podemos escolher uma das distâncias e chamá-la de d. Então, temos: d = |2 - 1| = |3 - 2| = |1 - 3| d = |z2 - z1| = |z3 - z2| = |z1 - z3| Usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano complexo, podemos escrever: d² = |z2 - z1|² = (z2 - z1)(z2 - z1)* d² = |z3 - z2|² = (z3 - z2)(z3 - z2)* d² = |z1 - z3|² = (z1 - z3)(z1 - z3)* onde * denota o conjugado complexo. Expandindo as expressões acima, temos: d² = z2z2* - z2z1* - z1z2 + z1z1* = z3z3* - z3z2* - z2z3 + z2z2* d² = z3z3* - z3z2* - z2z3 + z2z2* = z1z1* - z1z3* - z3z1 + z3z3* d² = z1z1* - z1z3* - z3z1 + z3z3* = z2z2* - z2z1* - z1z2 + z1z1* Somando as três equações acima, obtemos: 3d² = z1z1* + z2z2* + z3z3* - z1z2* - z2z3* - z3z1* - z1z3* - z3z2* - z2z1* Usando a propriedade de que um triângulo equilátero tem todos os lados iguais, podemos escrever: z2 - z1 = e^(iπ/3)(z3 - z2) z3 - z2 = e^(iπ/3)(z1 - z3) z1 - z3 = e^(iπ/3)(z2 - z1) onde e^(iπ/3) é a raiz cúbica de 1. Substituindo essas expressões na equação acima, obtemos: 3d² = (z1 + z2 + z3)(z1 + z2 + z3)* - (z1z2 + z2z3 + z3z1)(e^(iπ/3) + e^(-iπ/3) + 1) - (z1z3 + z3z2 + z2z1)(e^(iπ/3) + e^(-iπ/3) + 1)* Simplificando, temos: 3d² = (z1 + z2 + z3)(z1 + z2 + z3)* - 3(z1z2 + z2z3 + z3z1) Usando a propriedade de que |z|² = z*z*, podemos escrever: 3d² = (z1 + z2 + z3)² - 3(z1z2 + z2z3 + z3z1) Substituindo essa expressão na equação dada, obtemos: 1² + 2² + 3² + 2(z1z2 + z2z3 + z3z1) = (z1 + z2 + z3)² 3d² + 2(z1z2 + z2z3 + z3z1) = (z1 + z2 + z3)² Se os pontos correspondem aos vértices de um triângulo equilátero, então a equação acima é satisfeita. A recíproca também é verdadeira, ou seja, se a equação acima é satisfeita, então os pontos correspondem aos vértices de um triângulo equilátero.