8. Um objeto é lançado obliquamente com 30 m/s de modo que após 5 s sua velocidade é perpendicular à velocidade inicial. Determine o ângulo de lanç...

Podemos resolver esse problema usando as equações do movimento uniformemente variado (MUV) e as equações da cinemática vetorial. Primeiro, podemos encontrar a velocidade inicial em cada componente (horizontal e vertical) usando as seguintes equações: Vx = Vox = Vo cosθ Vy = Voy - gt = Vo senθ - gt Onde: Vox = velocidade inicial na direção horizontal Voy = velocidade inicial na direção vertical Vo = velocidade inicial θ = ângulo de lançamento g = aceleração da gravidade t = tempo de queda livre (5 segundos) Sabemos que após 5 segundos, a velocidade na direção vertical é zero, então podemos usar essa informação para encontrar a velocidade inicial na direção vertical: 0 = Vo senθ - gt gt = Vo senθ t = Vo senθ / g Substituindo t na equação da velocidade inicial na direção horizontal, temos: Vox = Vo cosθ = 30 m/s Substituindo t na equação da velocidade inicial na direção vertical, temos: Voy = Vo senθ - gt = Vo senθ - (Vo senθ / g) = Vo senθ (1 - 1/g) Sabemos que a velocidade resultante após 5 segundos é perpendicular à velocidade inicial, então podemos usar essa informação para encontrar o ângulo de lançamento: V = √(Vox² + Voy²) = Vo √(cos²θ + sen²θ (1 - 1/g)²) = Vo √(1 + (1 - 1/g)² tan²θ) Como V é perpendicular a Vox, temos: Voy = Vox = 30 m/s Substituindo na equação acima, temos: 30 m/s √(1 + (1 - 1/10)² tan²θ) = Vo senθ Dividindo ambos os lados por 30 m/s, temos: √(1 + (1 - 1/10)² tan²θ) = (Vo/30) senθ Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 1 + (1 - 1/10)² tan²θ = (Vo/30)² sen²θ Substituindo os valores conhecidos, temos: 1 + (1 - 1/10)² tan²θ = (30/30)² sen²θ 1 + (9/100) tan²θ = 1/4 sen²θ 4 + 36 tan²θ = 25 sen²θ 36 tan²θ + 25 sen²θ = 25 tan²θ / sen²θ = 25 / 11 tan²θ = 25 / 36 tanθ = √(25/36) tanθ = 5/6 Finalmente, podemos encontrar o ângulo de lançamento usando a função inversa da tangente: θ = tan⁻¹(5/6) ≈ 39,2° Portanto, a alternativa correta é a letra E) sin⁻¹4/5.