Considere o polinômio 6n p(x) = ∑ a_nx^n, com coeficientes reais sendo a_0 ≠ 0 e a_6 = 1. Sabe-se que se r é raiz de p, – r também é raiz de p. Ana...

I. Verdadeira. Se r1 e r2 são raízes reais distintas, então p(x) pode ser escrito como p(x) = (x - r1)(x - r2)q(x), onde q(x) é um polinômio de grau 4. Como –r1 e –r2 também são raízes de p(x), temos que p(x) = (x + r1)(x + r2)q(x) e, portanto, p(x) = (x^2 - r1^2)(x^2 - r2^2)q(x). Se r3 é uma raiz não real de p(x), então r3 é uma raiz de um dos fatores (x^2 - r1^2), (x^2 - r2^2) ou q(x). Mas os fatores (x^2 - r1^2) e (x^2 - r2^2) só têm raízes reais, então r3 é uma raiz de q(x), que só tem raízes complexas conjugadas. Portanto, r3 é um número complexo imaginário puro. II. Falsa. Se r é uma raiz dupla de p(x), então p(x) pode ser escrito como p(x) = (x - r)^2q(x), onde q(x) é um polinômio de grau 4. Como –r também é raiz de p(x), temos que p(x) = (x + r)^2q(x) e, portanto, p(x) = (x^2 - r^2)^2q(x). Mas o fator (x^2 - r^2)^2 tem raízes reais e complexas conjugadas, então r não precisa ser real ou imaginário puro. III. Falsa. Como a_6 = 1, temos que lim x → ±∞ p(x) = +∞. Mas p(x) = a_0x^6 + ... + a_6, então a_0 > 0.